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Mathematik-Online-Aufgabensammlung:

Interaktive Aufgabe 468: Singuläre Differentialgleichung zweiter Ordnung, Potenzreihenansatz

A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z

Gegeben sei die singuläre analytische Differentialgleichung

$\displaystyle 2z^2 w''(z) -(z+2z^2)w'(z) + w(z) =0 \ .$

a)
Transformieren Sie die Differentialgleichung auf die Form

$\displaystyle w''(z) +p(z)w'(z) + q(z)w(z) =0 $

und bestimmen Sie die Polstellen von $ p(z) $ und $ q(z)$ und deren Ordnung.
b)
Bestimmen Sie die Nullstellen $ \lambda_{1,2} $ der charakteristischen Gleichung $ f(\lambda)=0$.

Betrachten Sie von nun an nur denjenigen Exponenten $ \lambda$ mit dem kleineren Realteil.
c)
Geben Sie eine Rekursionsformel an für die Koeffizienten $ c_k$ im Ansatz

$\displaystyle w(z)=z^{\lambda}\sum_{k=0}^{\infty} c_k z^k\ .$

d)
Bestimmen Sie für $ c_0=1$ die Koeffizienten $ c_k$ explizit und geben Sie die zugehörige Lösung $ w(z)$ in geschlossener Form an.

Lösung:

a)
$ p(z)=$$ /(2z^e)-$mit $ e=$. Damit ist $ z=$Polstelle der Ordnung .

$ q(z)=$$ /(2z^e)$ mit $ e=$. Damit ist $ z=$Polstelle der Ordnung .
b)
$ \lambda_1=$, $ \lambda_2=1/$
c)
$ c_k=(k-1/$$ )/(f(k+1/$ $ ))\,c_{k-1}$
d)
$ c_k=c_0/$$ !$
$ w(z)=$sqrt$ ($$ )$exp$ ($$ )$

   
(K. Höllig, HM-Prüfungsaufgabe, 9. März 1992)
[Verweise]
  automatisch erstellt am 10.  8. 2017