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Mathematik-Online-Aufgabensammlung:

Interaktive Aufgabe 490: Gewöhnliche Differentialgleichungen erster und zweiter Ordnung, Anfangswertprobleme, Taylor-Polynom

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a)
Bestimmen Sie die Lösung der folgenden Anfangswertprobleme:

a1) $ \displaystyle{y' = \frac{1+y^2}{2xy},\quad y(1) = 1}$

a2) $ \displaystyle{y' = - \frac{y^2}{x^2},\quad y(1) = 1}$

a3) $ \displaystyle{y'' = e^y y',\quad y(0) = 0,\ y'(0) = 1}$

b)
Gegeben sei das Anfangswertproblem

$\displaystyle y' + \ln y = e^{5x} ,\quad y(0) = 1 . $

Geben Sie das quadratische Taylorpolynom zum Entwicklungspunkt $ x_0 = 0$ für die Lösung $ y(x)$ an. Hinweis: Zur Lösung der Aufgabe muss die Funktion $ y(x)$ nicht explizit berechnet werden!

Lösung:

a)
a1)
$ y(x)$ hat die Form:

keine Angabe , $ \frac{ax}{bx+c}$ , $ \mathrm{exp}(ax^2+bx+c)$ , $ \sqrt{ax^2+bx+c}$ .

Die Koeffizienten lauten (ggf. auf zwei Nachkommastellen runden):

$ a =$ , $ b=$ , $ c=$ .

a2)
$ y(x)$ hat die Form:

keine Angabe , $ \frac{ax}{bx+c}$ , $ \sqrt{ax^2+bx+c}$ , $ \ln(ax^2+bx+c)$ .

Die Koeffizienten lauten (ggf. auf zwei Nachkommastellen runden):

$ a =$ , $ b=$ , $ c=$ .

a3)
$ y(x)$ hat die Form:

keine Angabe , $ \frac{1}{ax^2+bx+c}$ , $ \mathrm{e}^{ax^2+bx+c}$ , $ a\,\ln(bx+c)$ .

Die Koeffizienten lauten (ggf. auf zwei Nachkommastellen runden):

$ a =$ , $ b=$ , $ c=$ .

b)
$ y(x) = $ $ + $ $ x + $ $ x^2 + O(x^3)$ .

   
(Reif, Prüfungsaufgabe, Herbst 2003)

siehe auch:

  automatisch erstellt am 10.  8. 2017