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Mathematik-Online-Aufgabensammlung:

Interaktive Aufgabe 511: Lineares Anfangswertproblem zweiter Ordnung

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Vorgelegt ist das Anfangswertproblem

$\displaystyle \left\{ \begin{array}{l} u''(t) + 2 u'(t) + u(t) \,=\, f(t) \\ [1ex] u(0) = 0, \quad u'(0) = 0 \end{array}\right.$   mit$\displaystyle \qquad f(t) = \left\{ \begin{array}{ccl} t & \mbox{f\uml ur} & 0 \leq t \leq 1, \\ [1ex] 1 & \mbox{f\uml ur} & t > 1. \end{array} \right. $

Ziel ist es, die eindeutige, überall stetig differenzierbare Lösung $ u(t)$ für $ t \geq 0$ zu berechnen.
a)
Berechnen Sie zunächst die Lösung im Intervall $ \, 0 \leq t \leq 1 $.
b)
Bestimmen Sie unter Verwendung der Lösung von a) Anfangswerte in $ t = 1$ für die gesuchte Lösung und berechnen Sie diese für $ t \geq 1$.
c)
Wie oft ist die so gefundene Lösung stetig differenzierbar? Begründung!

Berechnen Sie $ \;\displaystyle \lim_{t \to \infty} u(t)$.

d)
Skizzieren Sie $ f(t)$ und die Lösung.

Lösung:

a)
$ u(t)=\Big($ $ +t\Big)\exp\Big($ $ \,t\Big)+{}$$ \,t+{}$     für $ 0\leq t \leq 1$.
b)
$ u(t)=\Big($ $ -e+\big($ $ {}-e\big)t\Big)\exp\Big($ $ \,t\Big)+{}$$ \,t+{}$     für $ t > 1$.
c)
Die Lösung ist -fach stetig differenzierbar und es gilt $ \lim\limits_{t\rightarrow \infty} u(t)={}$.


   

(Aus: K. Kirchgässner, Diplomvorprüfung HM I/II für el, Herbst 1993)
[Verweise]
  automatisch erstellt am 10.  8. 2017