Mathematik-Online-Aufgabensammlung: Interaktive Aufgabe 559: Gemeinsame Lösung zweier Differentialgleichungen

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	Interaktive Aufgabe 559: Gemeinsame Lösung zweier Differentialgleichungen

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Gegeben seien die Differentialgleichungen

$\displaystyle y''+2y'+2y=0$

(1)

und

$\displaystyle y^{(4)}-2y'''-2y''+8y=0.$

(2)

a)

Zeigen Sie, dass es zwei linear unabhängige Funktionen

und

gibt, die sowohl Lösung der Gleichung (1)als auch der Gleichung (2)sind.

b)

Berechnen Sie die allgemeine Lösung der Differentialgleichung (2).

c)

Bestimmen Sie die allgemeine Lösung der Differentialgleichung

$\displaystyle y''-4y'+4y=-\frac{2e^{2x}}{x^3}\ ,\quad (x>0).$

Hinweis: Aufgabenteil c) kann mittels Variation der Konstanten berechnet werden.

Lösung:

a)

Charakteristisches Polynom von (1):

$\chi_1(\lambda)=$ $\lambda^2+$ $\lambda+$

Charakteristisches Polynom von (2):

$\chi_2(\lambda)=$ $\lambda^4+$ $\lambda^3+$ $\lambda^2+$ $\lambda+$

$\dfrac{\chi_2(\lambda)}{\chi_1(\lambda)}=$ $\lambda^2+$ $\lambda+$

b)

Berechnen Sie die Nullstellen von $\chi_2(\lambda)$

$\lambda_{1,2}=$ $\lambda_{3,4}=$ $\pm i$

Kreuzen Sie die richtige allgemeine Lösung an:

keine Angabe
$c_1e^{\lambda_1x}+c_2e^{\lambda_2x}+c_3e^{\lambda_3x}+c_4e^{\lambda_4x}$
$c_1e^{\lambda_1x}+c_2xe^{\lambda_2x}+c_3e^{\lambda_3x}\sin x+c_4e^{\lambda_4x}\cos x$
$c_1e^{\lambda_1x}+c_2xe^{\lambda_2x}+c_3e^{\operatorname{Re}(\lambda_3)x}\sin x+c_4e^{\operatorname{Re}(\lambda_4)x}\cos x$
$c_1e^{\lambda_1x}+c_2xe^{\lambda_2x}+c_3x^2e^{\lambda_3x}+c_4x^3e^{\lambda_4x}$

c)

Wie sieht der Ansatz mit der Variation der Konstanten aus?

keine Angabe
$y_\mathrm{p}=c_5(x)e^{\lambda_1x}+c_6(x)e^{\lambda_2x}$
$y_\mathrm{p}=c_5(x)e^{\lambda_1x}+c_6(x)xe^{\lambda_2x}$
$y_\mathrm{p}=c_5(x)xe^{\lambda_1x}+c_6(x)xe^{\lambda_2x}$
$y_\mathrm{p}=c_5(x)e^{\lambda_1x}+c_6(x)x^2e^{\lambda_2x}$