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Mathematik-Online-Aufgabensammlung:

Interaktive Aufgabe 562: Volumen und Normalen eines Körpers im Vektorfeld

A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
Im $ \mathbb{R}^3$ sei der Körper $ M$ gegeben, der durch den Graph $ S$ der Funktion

$\displaystyle x=f(y,z)=1+4y^2+4z^2 $

und der Ebene $ E$ mit der Gleichung

$\displaystyle x=5$

eingeschlossen wird. $ M$ ist also die Punktmenge

$\displaystyle \left\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 : 1+4y^2+4z^2 \leq x \leq 5 \right\}\,. $

Die Kurve $ K$ sei gegeben durch $ S\cap E$. Das Vektorfeld $ g:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3$ sei definiert durch

$\displaystyle g: \begin{pmatrix} x\\ y\\ z \end{pmatrix}\mapsto \begin{pmatrix} x+2z\\ 2y+z\\ 2x+y \end{pmatrix}\ . $

a)
Skizzieren Sie den Schnitt von $ M$ mit der $ (x,z)$-Ebene.
 keine Angabe Skizze 1 Skizze 2
   \includegraphics[width=0.6\linewidth]{int3d_bild1} \includegraphics[width=0.6\linewidth]{int3d_bild2}
   Skizze 3 Skizze 4
   \includegraphics[width=0.6\linewidth]{int3d_bild3} \includegraphics[width=0.6\linewidth]{int3d_bild4}

b)
Wie lauten die nach außen weisenden Normaleneinheitsvektoren $ N_1$ bzw. $ N_2$ von $ \partial M$ in $ (5,0,\frac{1}{2})$ bzw. $ (2,0,\frac{1}{2})$?
$ N_1=\Big($ , , $ \Big)^t$

$ N_2=$ $ 1\big/\sqrt{\vphantom{\frac12}}$ $ \Big($ , , $ \Big)^t$

c)
Eine Parametrisierung $ v(t)$ von $ K$ lautet
$ v(t)=$ $ \Big($ , $ \cos(t)$ , $ \sin(t)\Big)^t ,\ t\in \big[$ , $ \pi\big]$.

d)
Verwenden Sie der Geometrie des Körpers angepasste Zylinderkoordinaten und ergänzen Sie die beiden Dreifach-Integrale so, dass sie das Volumen von $ M$ beschreiben (beachten Sie die jeweils vorgegebene Integrationsreihenfolge):

$ \pi$
$ \displaystyle\int$ $ \displaystyle\int$ $ \displaystyle\int$
$ +$$ r^2$
$ r$ $ \ d\varphi\ dx\ dr$

$ \pi$ $ \big(x+$ $ \big)^\frac12\big/$
$ \displaystyle\int$ $ \displaystyle\int$ $ \displaystyle\int$
$ r$ $ \ dr\ dx\ d\varphi$

e)
Das Volumen von $ M$ ist $ \pi$.
f)
$ \operatorname{rot}g =$ $ \Big($ , , $ \Big)^t$.
g)
$ \operatorname{div}g =$ .
h)
$ \iint\limits_{\partial M} g \cdot n\, \mathrm{d}O =$ $ \pi$.

(Hierbei sei $ n$ der nach außen weisende Normaleneinheitsvektor.)

i)
$ \int\limits_{K} g \mathrm{d}x =$ .


   

(Aus: Prüfung HM III Kimmerle F04)

siehe auch:

  automatisch erstellt am 10.  8. 2017