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Mathematik-Online-Aufgabensammlung:

Interaktive Aufgabe 585: Hauptachsen, euklidische Normalform und Typ einer Quadrik mit Parameter

A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
Bestimmen Sie für die Quadrik

$\displaystyle Q_\alpha:\, x^2+\frac{1}{2}\,y^2+z^2+2\alpha xz=0 $

in Abhängigkeit von dem reellen Parameter $ \alpha\geq 0$
a)
die Hauptachsen
b)
die euklidische Normalform $ \lambda_1\tilde{x}^{\,2}+\lambda_2\tilde{y}^{\,2}+\lambda_3\tilde{z}^{\,2}=0$
c)
den Typ.

Antwort:

a)
$ v_1$ = $ \left(\rule{0cm}{6ex}\right.$
$ 1$
$ \left.\rule{0cm}{6ex}\right)$ ,        $ v_2$ = $ \left(\rule{0cm}{6ex}\right.$
$ 1$
$ \left.\rule{0cm}{6ex}\right)$ ,        $ v_3$ = $ \left(\rule{0cm}{6ex}\right.$
$ -1$
$ \left.\rule{0cm}{6ex}\right)$



b)
$ ($ $ +\, \alpha)\tilde{x}^{\,2}\, +\, \tilde{y}^{\,2} +\, ($ $ -\, \alpha)\tilde{z}^{\,2}=0$

c)
mit $ \alpha_* =$

$ \alpha < \alpha_*:$         Punkt         Ellipsoid
Gerade         Kegel         einschaliges Hyperboloid
$ \alpha = \alpha_*:$         Punkt         Ellipsoid
Gerade         Kegel         einschaliges Hyperboloid
$ \alpha > \alpha_*:$         Punkt         Ellipsoid
Gerade         Kegel         einschaliges Hyperboloid

   
(Aus: Höllig, HM-Prüfungsaufgabe Frühjahr 2004)
[Verweise]
  automatisch erstellt am 12.  3. 2018