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Mathematik-Online-Aufgabensammlung:

Interaktive Aufgabe 598: Möbius-Transformationen

A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
Bestimmen Sie
a)
die Möbius-Transformation

$\displaystyle w(z)=\frac{az+b}{cz+d}\,, \qquad a,b,c,d\in\mathbb{C}\,,$

welche $ 1$ auf $ {\rm {i}}$, $ {\rm {i}}$ auf $ -1$ und $ -1$ auf $ 1$ abbildet, sowie deren Fixpunkte.

b)
das Bild der Geraden $ g$ und des Kreises $ K$ unter der Möbius-Transformation $ {\displaystyle{w(z)=\frac{z}{z-{\rm {i}}}\,.}}$
\includegraphics[width=.45\linewidth]{g190_bild1}

Lösung (alle Eingaben auf vier Nachkommastellen gerundet):

a)
     $ {\displaystyle{w(z)=\frac{az+1}{cz+d}}}$,      mit         $ a=$ $ +$ $ {\rm {i}}$,     $ c=$ $ +$ $ {\rm {i}}$,     $ d=$ $ +$ $ {\rm {i}}$.

Fixpunkte von $ w$ (nach aufsteigendem Imaginärteil sortiert):

        $ z_1=$ $ +$ $ {\rm {i}}$,     $ z_2=$ $ +$ $ {\rm {i}}$.

b)
Tragen Sie g und K sowie die richtigen Zahlenwerte in die entsprechenden Kästchen ein.

wird abgebildet auf die Gerade $ g': z=a+tb$,     mit $ a=$ $ \in\mathbb{R}$ und $ b=1+$ $ {\rm {i}}$,
wird abgebildet auf den Kreis $ K'$ mit Mittelpunkt $ m=$ $ +$ $ {\rm {i}}$ und Radius $ r=$ .


   

(Aus: HM IV, SS 2004)
[Verweise]
  automatisch erstellt am 10.  8. 2017