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Mathematik-Online-Aufgabensammlung:

Interaktive Aufgabe 642: Kompaktheit

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Beweisen Sie: Sei $ X$ ein zusammenhängender $ T_2$-Raum, so dass jeder Punkt eine offene! kompakte Umgebung besitzt, dann ist $ X$ kompakt.

Welche Beweise sind richtig?
  keine Angabe richtig falsch
Sei $ \bigcup\limits_{i\in I}O_i$ eine offene Überdeckung von $ X$. $ X$ ist zusammenhängend und lokalkompakt $ \Rightarrow$ Es gibt eine endliche Teilüberdeckung $ \Rightarrow$ $ X$ kompakt.
Sei $ p\in X$. Sei $ U$ offene Umgebung von $ p$. $ U^c$ ist offen, da $ U$ kompakt ist. $ U\cup U^c$ ist endliche offene Überdeckung von $ X$ $ \Rightarrow$ $ X$ kompakt.
Sei $ p\in X$ $ \Rightarrow$ Es gibt eine offene kompakte Umgebung $ U$ von $ p$ $ \stackrel{T_2}{\Rightarrow}$ $ U$ ist abgeschlossen und offen. Da $ X$ zusammenhängend ist folgt $ U=X$ kompakt.
$ T_2$ $ \Rightarrow$ $ T_1$ $ \Rightarrow$ jeder Punkt ist abgeschlossen. Jeder Punkt besitzt eine offene kompakte Umgebung $ \Rightarrow$ jeder Punkt ist offen. Da $ X$ zusammenhängend ist folgt $ X$ besteht nur aus einem Punkt $ \Rightarrow$ $ X$ kompakt.

   

(Aus: Topologie Kimmerle, SS04)

siehe auch:

  automatisch erstellt am 10.  8. 2017