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Mathematik-Online-Aufgabensammlung:

Interaktive Aufgabe 825: Eigenwerte, Eigenvektoren und Diagonalisierung einer 3x3-Matrix

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Bestimmen Sie die Eigenwerte und Eigenvektoren der Matrix

$\displaystyle A=\left( \begin{array}{rrr} -2 & 2 & 3 \\ 0 & -3 & 0 \\ -3 & -1 & -2 \end{array}\right) $

und transformieren Sie $ A$ auf Diagonalform.

Antwort:

Eigenwerte nach Imaginärteil aufsteigend sortiert:

$ \lambda_1=$ $ +\mathrm{i}$ ,     $ \lambda_2=$ $ +\mathrm{i}$ ,     $ \lambda_3=$ $ +\mathrm{i}$

zugehörige Eigenvektoren:

$ v_1=\left(\rule{0ex}{6ex}\right.$
1
$ +\mathrm{i}$
$ +\mathrm{i}$
$ \left)\rule{0ex}{6ex}\right.\,,$ $ v_2=\left(\rule{0ex}{6ex}\right.$
1
$ +\mathrm{i}$
$ +\mathrm{i}$
$ \left)\rule{0ex}{6ex}\right.\,,$
$ v_3=\left(\rule{0ex}{6ex}\right.$
1
$ +\mathrm{i}$
$ +\mathrm{i}$
$ \left)\rule{0ex}{6ex}\right.$      

Damit lautet eine mögliche Kombination aus Transformationsmatrix und Diagonalform:

keine Angabe

$ Q=(v_1,v_2,v_3)$, $ D=\begin{pmatrix}\lambda_1&0&0\\ 0&\lambda_3&0\\ 0&0&\lambda_2\end{pmatrix}$

$ Q=(v_1,v_2,v_3)$, $ D=\begin{pmatrix}\lambda_1&1&0\\ 0&\lambda_2&0\\ 0&0&\lambda_3\end{pmatrix}$

$ Q=(v_2,v_1,v_3)$, $ D=\begin{pmatrix}\lambda_2&0&0\\ 0&\lambda_1&0\\ 0&0&\lambda_3\end{pmatrix}$

$ Q=(v_1,v_3,v_2)$, $ D=\begin{pmatrix}\lambda_1&0&0\\ 0&\lambda_3&1\\ 0&0&\lambda_2\end{pmatrix}$


   

(Autor: Marco Boßle)
[Verweise]
  automatisch erstellt am 12.  3. 2018