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Mathematik-Online-Aufgabensammlung: Lösung zu

Interaktive Aufgabe 279: HM I/II Vorbereitungskurs

A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
a)
Gegeben sind die komplexen Zahlen $ z_1 = 4+3\mathrm{i}$ und $ z_2 = -2+\mathrm{i}$. Berechnen Sie $ z_1z_2$ und $ \frac{z_1}{z_2}$. Geben Sie die Ergebnisse in der Form $ a+b\mathrm{i}$ mit $ a,b \in \mathbb{R}$ an.

$\displaystyle z_1z_2 = (4+3\mathrm{i})(-2+\mathrm{i}) = -8+4\mathrm{i}-6\mathrm{i}+3\mathrm{i}^2 = -8-4\mathrm{i}-3 = -11-2\mathrm{i} $

$\displaystyle \frac{z_1}{z_2} = \frac{4+3\mathrm{i}}{-2+\mathrm{i}} = \frac{(4+... ...{i}^2-10\mathrm{i}}{4-\mathrm{i}^2}=\frac{-5-10\mathrm{i}}{5} = -1-2\mathrm{i} $

b)
Gegeben ist $ z = -\sqrt{3}+\mathrm{i}$. Geben Sie die Polarkoordinatendarstellung $ r(\cos{\varphi}+\mathrm{i}\sin{\varphi})$ von $ z$ und $ z^{19}$ an.

$\displaystyle r = \sqrt{(\sqrt{3})^2+1^2}=2; \cos{\varphi}=\frac{-\sqrt{3}}{2};... ...5\pi}{6} \mathrm{und} z=2(\cos{\frac{5\pi}{6}}+\mathrm{i}\sin{\frac{5\pi}{6}}) $

$\displaystyle z^{19} = r^{19}e^{\mathrm{i}19\varphi}=2^{19}e^{\mathrm{i}(14\pi+... ...frac{11\pi}{6}}= 2^{19}(\cos{\frac{11\pi}{6}}+\mathrm{i}\sin{\frac{11\pi}{6}}) $

[Aufgabe]
  automatisch erstellt am 10.  7. 2008