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Mathematik-Online-Aufgabensammlung: Differentiation (komplexer Logarithmus) zu

Aufgabe 256: Ableitung des komplexen Logarithmuses

A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z

Sei $ \mbox{$f(z) = \frac{{\operatorname{Log}}({\operatorname{Log}}(z))}{z}$}$. Bestimme $ \mbox{$f''(\exp(\mathrm{i}t))$}$ für $ \mbox{$t\in (0,\pi)$}$.

Zunächst kehren sich $ \mbox{${\operatorname{Log}}$}$ und $ \mbox{$\exp$}$ auf $ \mbox{$G_1 = \mathbb{C}\backslash (-\infty,0]$}$ und $ \mbox{$G_2 = \{ z\in\mathbb{C}\: \vert\; {\operatorname{Im}}(z)\in (-\pi,\pi)\}$}$ eineindeutig um, es gilt dort also $ \mbox{${\operatorname{Log}}'(z) = z^{-1}$}$.

Es ist

$ \mbox{$\displaystyle f'(z) \; =\; z^{-2}\left({\displaystyle\frac{1}{{\operatorname{Log}}(z)}} - {\operatorname{Log}}({\operatorname{Log}}(z))\right)\; , $}$
und weiter
$ \mbox{$\displaystyle f''(z) \; =\; z^{-3}\left(-{\displaystyle\frac{3}{{\oper... ...me{Log}}(z)^2}} + 2{\operatorname{Log}}({\operatorname{Log}}(z))\right)\; . $}$
Es gilt also
$ \mbox{$\displaystyle f''(\exp(\mathrm{i}t)) \; =\; \exp(-3\mathrm{i}t)\left(3\mathrm{i}t^{-1} + t^{-2} + 2{\operatorname{Log}}(\mathrm{i}t)\right)\; . $}$
(Autoren: Künzer/Meister/Nebe)
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  automatisch erstellt am 7.  6. 2005