Mo Logo [Home] [Lexikon] [Aufgaben] [Tests] [Kurse] [Begleitmaterial] [Hinweise] [Mitwirkende] [Publikationen]
Mathematik-Online-Aufgabensammlung: Maximumprinzip zu

Aufgabe 259: Maximumprinzip

A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z

Sei $ \mbox{$G\subseteq \mathbb{C}$}$ ein Gebiet, sei $ \mbox{$f:G\longrightarrow \mathbb{C}$}$ eine holomorphe Funktion, seien $ \mbox{$z_0\in G$}$ und $ \mbox{$r > 0$}$ so, daß $ \mbox{$\bar{B}_r(z_0)\subseteq G$}$ (Kreisscheibe inklusive Kreisrand). Sei $ \mbox{$m$}$ das Maximum von $ \mbox{$\vert f(z)\vert$}$ auf dem (kompakten) Kreisrand $ \mbox{$\partial B_r(z_0)$}$. Sei $ \mbox{$z\in\bar{B}_r(z_0)$}$.

Zeige, daß $ \mbox{$\vert f(z)\vert\leq m$}$.

Wäre $ \mbox{$\vert f(z)\vert > m$}$, so wäre das Maximum $ \mbox{$M$}$ von $ \mbox{$\vert f(z)\vert$}$ auf der (kompakten) Menge $ \mbox{$\bar{B}_r(z_0)$}$ ebenfalls größer als $ \mbox{$m$}$. Sei diesenfalls etwa $ \mbox{$\vert f(z_1)\vert = M$}$, wobei $ \mbox{$z_1$}$ notwendigerweise in $ \mbox{$B_r(z_0)$}$ liegt (Kreisscheibe ohne Rand), da $ \mbox{$M > m$}$. Also liegt in $ \mbox{$z_1$}$ ein lokales Maximum von $ \mbox{$\vert f(z)\vert$}$ vor, und somit ist $ \mbox{$f$}$ konstant auf $ \mbox{$G$}$ nach dem Maximumprinzip. Aber es gibt auch ein $ \mbox{$z_2\in\partial B_r(z_0)$}$ mit $ \mbox{$f(z_2) = m < M = f(z_1)$}$.

Das ist ein Widerspruch, und mithin war die Annahme $ \mbox{$\vert f(z)\vert > m$}$ falsch.

(Autoren: Künzer/Meister/Nebe)
[Zurück zur Aufgabe]
  automatisch erstellt am 7.  6. 2005