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Mathematik-Online-Aufgabensammlung: Laurententwicklung (rat. Funktion) zu

Aufgabe 263: Laurententwicklung (rat. Funktion)

A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z

Sei $ \mbox{$f:\mathbb{C}\backslash \{0,1\}\longrightarrow \mathbb{C}$}$ definiert durch $ \mbox{$f(z) = \frac{1}{z^2(z-1)}$}$. Man entwickle diese Funktion in $ \mbox{$B_{R,r}(z_0)$}$ in eine Laurentreihe in den folgenden Fällen.

  1. $ \mbox{$z_0 = 0$}$, $ \mbox{$r = 0$}$, $ \mbox{$R = 1$}$. Bestimme die Ordnung der Polstelle $ \mbox{$z_0 = 0$}$.
  2. $ \mbox{$z_0 = 0$}$, $ \mbox{$r = 1$}$, $ \mbox{$R = \infty$}$.
  3. $ \mbox{$z_0 = -1$}$, $ \mbox{$r = 1$}$, $ \mbox{$R = 2$}$.

Mit Hilfe des Ansatzes

$\displaystyle f(z) =\frac{1}{z^2(z-1)}= \frac{a}{z} + \frac{b}{z^2} + \frac{c}{z-1}$    

folgt

$\displaystyle f(z) = -\frac{1}{z^2}-\frac{1}{z}+\frac{1}{z-1}.$    

  1. Die Laurentreihe ergibt sich zu

    $\displaystyle f(z) = -\frac{1}{z^2} - \frac{1}{z} - \sum_{j=0}^\infty z^j\; .$    

    Die Polstelle bei $ \mbox{$z_0 = 0$}$ ist von Ordnung 2.

  2. Schreibe
    $ \mbox{$\displaystyle \begin{array}{rcl} \frac{1}{z-1} & = & \frac{1}{z}\frac{1}{1-\frac{1}{z}} \\ & = & \sum_{j=-\infty}^{-1} z^j\; .\\ \end{array}$}$
    Damit ergibt sich die Laurentreihe zu

    $\displaystyle f(z) = \sum_{j=-\infty}^{-3} z^j\;.$    

  3. Es ist
    $ \mbox{$\displaystyle \begin{array}{rcl} \frac{1}{z} &=& \frac{1}{(z+1)-1} \\ ... ...rac{1}{z+1}\right)^j\\ &=& \sum_{j=-\infty}^{-1}(z+1)^j\;.\\ \end{array}$}$

    Die Laurentreihe von $ \mbox{$\frac{1}{z^2}$}$ um $ \mbox{$z_0=-1$}$ ist die negative Ableitung der Reihe von $ \mbox{$\frac{1}{z}$}$ nach $ \mbox{$z$}$,

    $ \mbox{$\displaystyle \begin{array}{rcl} \frac{1}{z^2} & = & -\sum_{j=-\infty... ...(z+1)^{j-1} \\ & = & -\sum_{j=-\infty}^{-2} (j+1)(z+1)^j\;.\\ \end{array}$}$
    Ferner ist
    $ \mbox{$\displaystyle \begin{array}{rcl} \frac{1}{z-1} &=& \frac{1}{(z+1)-2} \... ...}\right)^j\\ &=& -\sum_{j=0}^\infty 2^{-(j+1)} (z+1)^j\; .\\ \end{array}$}$
    Insgesamt also
    $ \mbox{$\displaystyle \begin{array}{rcl} f(z) &=& -\frac{1}{z^2} - \frac{1}{z}... ...ght) - (z+1)^{-1} + \sum_{j=0}^\infty -2^{-(j+1)} (z+1)^j\; .\\ \end{array}$}$

Skizze der Konvergenzbereiche.

\includegraphics{s1.eps}
(Autoren: Künzer/Meister/Nebe)
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  automatisch erstellt am 7.  6. 2005