Mathematik-Online-Aufgabensammlung: Integration (Residuenkalkül) zu: Aufgabe 266: Integration, Residuum

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	Mathematik-Online-Aufgabensammlung: Integration (Residuenkalkül) zu
	Aufgabe 266: Integration, Residuum

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Berechne $\mbox{$\int_0^\infty \frac{1}{(1+x^{2k})^2} dx$}$ für $\mbox{$k\geq 1$}$ .

Sei $\mbox{$\xi$}$ die Summe der Lösungen von $\mbox{$z^{2k} = -1$}$ mit positivem Imaginärteil. Sei

$\mbox{$\displaystyle \zeta := e^{\frac{\pi \mathrm{i}}{2k}}\;. $}$

Dann ist $\mbox{$\zeta^2\xi = \xi - 2\zeta$}$ , also

$\mbox{$\displaystyle \xi \; =\; \frac{2\zeta}{1-\zeta^2} \; =\; \frac{\mathrm{i}}{\sin\left(\frac{\pi}{2k}\right)}\;. $}$

Wie im Fall $\mbox{$k = 3$}$ erhält man so

$\mbox{$\displaystyle \int_0^\infty \frac{1}{(1+x^{2k})^2} dx \; =\; \frac{(2k - 1)\pi}{(2k)^2\sin\left(\frac{\pi}{2k}\right)}\; . $}$

(Autoren: Künzer/Meister/Nebe)

automatisch erstellt am 7. 6. 2005