Mathematik-Online-Aufgabensammlung: Unabhängigkeit zu: Aufgabe 267: Unabhängigkeit

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	Mathematik-Online-Aufgabensammlung: Unabhängigkeit zu
	Aufgabe 267: Unabhängigkeit

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Es werden drei verschiedenfarbige Würfel geworfen. Betrachte die folgenden Ereignisse.

A: Es fällt mindestens eine 1.

B: Jeder Würfel hat eine andere Augenzahl.

C: Die drei Augenzahlen stimmen überein.

Berechne $\mbox{$P(A)$}$ , $\mbox{$P(B)$}$ , $\mbox{$P(C)$}$ , $\mbox{$P(A\cap B)$}$ . Sind $\mbox{$A$}$ und $\mbox{$B$}$ unabhängig?

Im Wahrscheinlichkeitsraum $\mbox{$\Omega = \{(x,y,z): x,y,z\in\{1,\dots,6\}\}$}$ hat jedes Elementarereignis die Wahrscheinlichkeit $\mbox{$\frac{1}{\vert\Omega\vert}=\frac{1}{216}.$}$

Es gilt $\mbox{$P(A) = 1-P(\text{keine 1}) = 1 - \left(\frac{5}{6}\right)^3 \approx 0.42$}$ .
Es gilt $\mbox{$P(B) = \frac{6\cdot 5\cdot 4}{6^3} = \frac{5}{9} \approx 0.56.$}$
Es gilt $\mbox{$P(C) = \frac{6}{6^3} \approx 0.03$}$ .
Zeigt der Wurf eine 1, so bleiben für die anderen Würfel noch $\mbox{$5\cdot 4$}$ Möglichkeiten. Somit ist $\mbox{$P(A\cap B) = 3 \frac{5\cdot 4} {6^3} = \frac{5}{18} \approx 0.28.$}$ Da $\mbox{$P(A)<0.5$}$ , sind $\mbox{$A$}$ und $\mbox{$B$}$ abhängig.

(Autoren: Künzer/Meister/Nebe)

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automatisch erstellt am 7. 6. 2005

A:	Es fällt mindestens eine 1.
B:	Jeder Würfel hat eine andere Augenzahl.
C:	Die drei Augenzahlen stimmen überein.