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Mathematik-Online-Aufgabensammlung: geometrische Verteilung zu

Aufgabe 269: geometrische Verteilung

A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z

(i)
Sei $ \mbox{$a\in (0,1)$}$. Die Zufallsvariable $ \mbox{$X$}$ sei geometrisch verteilt, was bedeute, daß
$ \mbox{$\displaystyle P(X = k) = a\,(1-a)^{k-1}. $}$
für $ \mbox{$k\in\mathbb{N}$}$. Berechne Erwartungswert und Varianz.

(ii)
Wie groß ist die zu erwartende Anzahl von Würfen eines Würfels bis zum ersten Mal eine Eins geworfen wird.

(i) Nach Definition gilt $ \mbox{${\operatorname{E}}(X) = \sum_{k=1}^\infty k\, a\,(1-a)^{k-1}$}$. Für $ \mbox{$0 < a < 1$}$ gelten für $ \mbox{$G(a) := a^{-1}$}$ die folgenden Identitäten

$ \mbox{$\displaystyle \begin{array}{rclcl} G(a) &=& \sum_{k=0}^\infty (1-a)^k... ... G''(a) &=& \sum_{k=2}^\infty k\,(k-1)\,(1-a)^{k-2} &=& 2 a^{-3} \end{array}$}$

Für den Erwartungswert folgt

$ \mbox{$\displaystyle {\operatorname{E}}(X) = \sum_{k=1}^\infty k\, a\,(1-a)^{k-1} = -a\,G'(a) = a^{-1}. $}$

Für $ \mbox{${\operatorname{E}}(X^2)$}$ gilt

$ \mbox{$\displaystyle \begin{array}{rcl} {\operatorname{E}}(X^2) & = & \sum_{... ...\cdot 2a^{-3} + a\cdot a^{-2}\\ & = & 2a^{-2} - a^{-1}\; ,\\ \end{array}$}$
damit folgt
$ \mbox{$\displaystyle {\operatorname{Var}}(X) = {\operatorname{E}}(X^2) - ({\operatorname{E}}(X))^2 = 2\,a^{-2} - a^{-1} - (a^{-1})^2 = \frac{1-a}{a^2}. $}$

(ii) Beim Würfeln ist obige Überlegung anwendbar mit $ \mbox{$a=\frac{1}{6}$}$, d.h. die Anzahl die mittleren erwarteten Wiederholungen bis zur ersten geworfenen Eins ist $ \mbox{$6$}$.

(Autoren: Künzer/Meister/Nebe)
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  automatisch erstellt am 7.  6. 2005