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Mathematik-Online-Aufgabensammlung: Stichprobenvarianz zu

Aufgabe 274: Stichprobenvarianz

A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z

Gegeben sei eine Stichprobe $ \mbox{$X_1,\dots,X_n$}$, wobei die Dichte der $ \mbox{$X_i$}$ abhängig von einem zu schätzenden Parameter $ \mbox{$\vartheta\in[0,2]$}$ durch

$ \mbox{$\displaystyle f_\vartheta(x) = \begin{cases} \vartheta + 2\,(1-\vartheta)x & \text{ f\uml ur } 0\leq x\leq 1\\ 0 &\text{ sonst} \end{cases}$}$
gegeben sei.

  1. Berechne für festes $ \mbox{$\vartheta\in[0,2]$}$ die Größen $ \mbox{${\operatorname{E}}(X_i)$}$, $ \mbox{${\operatorname{E}}(X_i^2)$}$ und $ \mbox{${\operatorname{E}}(X_i^4)$}$.
  2. Zeige daß die beiden Schätzfunktionen
    $ \mbox{$\displaystyle \begin{array}{rcl} T_n(x_1,\dots,x_n) &=& 4 - \frac{6}... ...}\\ U_n(x_1,\dots,x_n) &=& 3 - \frac{6}{n}\sum_{i=1}^n x_i^2 \end{array} $}$
    erwartungstreu und konsistent für $ \mbox{$\vartheta$}$ sind.
  3. Gebe in Abhängigkeit von $ \mbox{$\vartheta$}$ an, welcher Schätzer die geringere Varianz hat (d.h. genauer ist).

  1. Ist $ \mbox{$X_i$}$ mit Parameter $ \mbox{$\vartheta$}$ verteilt, so ist für $ \mbox{$j\geq 0$}$
    $ \mbox{$\displaystyle \begin{array}{rcl} {\operatorname{E}}(X_i^j) &=& \int... ...ht]_0^1\\ &=& \frac{2}{j+2} - \frac{j}{(j+1)(j+2)}\vartheta, \end{array} $}$
    insbesondere gelten
    $ \mbox{$\displaystyle \begin{array}{lcl} {\operatorname{E}}(X_i) &=& \frac{2... ...name{E}}(X_i^4) &=& \frac{1}{3} - \frac{2}{15}\vartheta\; .\\ \end{array} $}$
  2. Wenn die $ \mbox{$X_i$}$ mit Parameter $ \mbox{$\vartheta$}$ verteilt sind, gelten
    $ \mbox{$\displaystyle \begin{array}{rclcl} {\operatorname{E}}(T_n(X_1,\dots,... ...n)) &=& 3-6\,{\operatorname{E}}(X_i^2) & = & \vartheta\; , \\ \end{array} $}$
    d.h. die beiden Schätzfunktionen sind erwartungstreu für $ \mbox{$\vartheta$}$.

    Da die Varianzen der Schätzer

    $ \mbox{$\displaystyle \begin{array}{rcl} {\operatorname{Var}}(T_n(X_1,\dots,... ... & = &\frac{1}{n}(3 + \frac{6}{5}\vartheta - \vartheta^2) \\ \end{array} $}$
    für $ \mbox{$n\to\infty$}$ nach $ \mbox{$0$}$ konvergieren, folgt mit dem Satz von Chebyshev die Konsistenz der Schätzer.
  3. Es gilt
    $ \mbox{$\displaystyle {\operatorname{Var}}(T_n(X_1,\dots,X_n))-{\operatorname{Var}}(U_n(X_1,\dots,X_n)) = \frac{1}{n}(\frac{4}{5}\vartheta - 1), $}$
    d.h. für $ \mbox{$\vartheta\in [0,\frac{5}{4})$}$ ist $ \mbox{$T_n$}$ genauer, für $ \mbox{$\vartheta\in (\frac{5}{4},2]$}$ ist $ \mbox{$U_n$}$ genauer.
(Autoren: Künzer/Meister/Nebe)
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  automatisch erstellt am 7.  6. 2005