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Mathematik-Online-Aufgabensammlung: Lösungshinweis zu

Aufgabe 275: Stichprobenvarianz

A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z

Für eine Stichprobe $ \mbox{$X_1,\dots,X_n$}$ ist bei unbekanntem Erwartungswert $ \mbox{$\mu={\operatorname{E}}(X_i)$}$ die empirische Varianz gegeben durch

$ \mbox{$\displaystyle S_n^2(X_1,\dots,X_n) \;=\; \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n(X_i-\bar{X}_n)^2\;. $}$
Sei $ \mbox{$\sigma^2 = {\operatorname{Var}}(X_i)$}$ und $ \mbox{$\eta_4 := {\operatorname{E}}\left((X_i-\mu)^4\right)$}$ das zentrierte vierte Moment. Zeige, daß
$ \mbox{$\displaystyle {\operatorname{Var}}(S_n^2(X_1,\dots,X_n)) \;=\; \frac{\eta_4}{n} - \frac{n-3}{n(n-1)}\vspace*{1mm}\sigma^4\;. $}$

  1. Verifiziere
    $ \mbox{$\displaystyle {\operatorname{Var}}(S_n^2) \;=\; {\operatorname{E}}(S_n^4)-\sigma^4\;. $}$
  2. Schreibe
    $ \mbox{$\displaystyle \begin{array}{rcl} n^2(1-n)^2{\operatorname{E}}(S_n^4)... ...2)(\sum X_i)^2}_{=:B} + \underbrace{(\sum X_i)^4}_{=:C} \Bigr) \end{array} $}$
    und betrachte die Terme $ \mbox{$A$}$, $ \mbox{$B$}$ und $ \mbox{$C$}$ einzeln.

  3. Sei $ \mbox{$\mu_k := {\operatorname{E}}(X_i^k)$}$ für $ \mbox{$k\in\{1,\dots,4\}$}$.

    In $ \mbox{$A = (\sum X_i^2)^2$}$ treten $ \mbox{$n$}$ Terme der Form $ \mbox{$X_i^4$}$ auf (nämlich $ \mbox{$X_1^4,\dots, X_n^4$}$). Das ergibt eine Beitrag $ \mbox{$n\mu_4$}$ zu $ \mbox{${\operatorname{E}}(A)$}$. Es treten $ \mbox{$\frac{n(n-1)}{2}$}$ Terme der Form $ \mbox{$2X_i^2X_j^2$}$ ( $ \mbox{$i < j$}$) auf. Das ergibt eine Beitrag $ \mbox{$n(n-1)\mu_2^2$}$ zu $ \mbox{${\operatorname{E}}(A)$}$.

    Damit gilt $ \mbox{${\operatorname{E}}(A) = n\mu_4 + n(n-1)\mu_2^2$}$.

    Verfahre mit $ \mbox{$B$}$ und $ \mbox{$C$}$ analog.

  4. Berechne $ \mbox{$\eta_4 = {\operatorname{E}}\bigl((X_i-\mu_1)^4\bigr)$}$ in Termen von $ \mbox{$\mu_1,\dots,\mu_4$}$ und beachte $ \mbox{$\sigma^2=\mu_2-\mu_1^2$}$.

Es ist eine längere Rechnung.

(Autoren: Künzer/Meister/Nebe)
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  automatisch erstellt am 7.  6. 2005