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Mathematik-Online-Aufgabensammlung: Konfidenzintervall (Wahlausgang) zu

Aufgabe 277: Konfidenzintervall (Wahlausgang)

A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z

Ein Meinungsforschungsinstitut wird damit beauftragt, eine Umfrage über den Ausgang eines ,,Bürgerentscheids ja/nein`` durchzuführen. Wie viele zufällig ausgewählte Bürger müssen befragt werden, damit mit einem Konfidenzintervall der Länge $ \mbox{$0.001$}$ für den empirischen Mittelwert für den Ausgang des Entscheids ein Konfidenzniveau von $ \mbox{$0.99$}$ erreicht wird.

Sei $ \mbox{$(X_n)_{n\in\mathbb{N}}$}$ dazu eine Folge unabhängiger binomial-verteilter Zufallsvariablen mit zu schätzendem Parameter $ \mbox{$p=P(X_i=1)$}$.

Zunächst liest man $ \mbox{$c = \Phi^{-1}_{0,1}(0.975)\approx 1.95996$}$ aus einer geeigneten Tabelle ab.

Die Länge des Konfidenzintervalls zum gegebenen Konfidenzniveau $ \mbox{$0.99$}$ ist gegeben durch

$ \mbox{$\displaystyle \frac{2\,c}{n+c^2}\sqrt{\frac{(\sum x_i) (n-\sum x_i)}{n} + \frac{c^2}{4}} $}$
wobei $ \mbox{$\sum x_i =: k \in \{0,\dots,n\}$}$. Folglich kann der erste Bruch unter der Wurzel mit $ \mbox{$\frac{n}{4}$}$ nach oben abgeschätzt werden. Gesucht ist also $ \mbox{$n\in\mathbb{N}$}$ mit
$ \mbox{$\displaystyle \frac{2\,c}{n+c^2}\sqrt{\frac{n}{4} + \frac{c^2}{4}} \;\leq\; 0.001\; , $}$
oder
$ \mbox{$\displaystyle c^2 \frac{1}{n+c^2} \;\leq\; 0.001^2\; , $}$
und schließlich $ \mbox{$n \geq 3.84\cdot 10^6$}$. In anderen Worten, für dieses Konfidenzniveau muß die Wahl wohl durchgeführt werden.
(Autoren: Künzer/Meister/Nebe)
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  automatisch erstellt am 7.  6. 2005