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Mathematik-Online-Aufgabensammlung: Lösungshinweis zu

Aufgabe 280: Linearer Code

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Gegeben sei mit $ \mbox{$\mathbb{F}_4=\mathbb{F}_2[X]/(X^2+X+1)\mathbb{F}_2[X]$}$ der Code $ \mbox{$C\subset\mathbb{F}_4^6$}$ mit Erzeugermatrix

$ \mbox{$\displaystyle G=\begin{pmatrix}X&1&0&1&X&0\\ 0&0&1&0&1&1\end{pmatrix}. $}$
Finde einen äquivalenten Code mit Erzeugermatrix der Form $ \mbox{$(E_2\vert P_4)$}$. Bestimme Minimaldistanz und Informationsrate. Gib für einen MDD mögliche Korrekturterme für die Syndrome $ \mbox{$(0,0,0,0)$}$, $ \mbox{$(1,0,0,0)$}$, $ \mbox{$(0,1,0,0)$}$, $ \mbox{$(1,1,1,1)$}$, $ \mbox{$(X+1,X,1,0)$}$, $ \mbox{$(X+1,X+1,1,0)$}$ an. Decodiere mit diesem MDD ein Wort mit nichtverschwindendem Übertragungsfehler, welches dennoch korrekt zugeordnet wird.

Für das Syndrom $ \mbox{$(X+1,X+1,1,0)$}$ ist $ \mbox{$a'=(X+1,0,X,0,0,0)$}$ ein minimialer Vertreter, den man als Übertragungsfehler verwenden kann. Ein äquivalenter Code ist gegeben durch

$ \mbox{$\displaystyle G'=\begin{pmatrix}1&0&X&1&X&0\\ 0&1&0&0&1&1\end{pmatrix}. $}$
Für diesen ist für das Syndrom $ \mbox{$(X+1,X,1,0)$}$ das Wort $ \mbox{$a'=(X+1,0,X,0,0,0)$}$ ein minimaler Vertreter.
(Autoren: Künzer/Meister/Nebe)
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  automatisch erstellt am 7.  6. 2005