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Mathematik-Online-Aufgabensammlung: Lösungshinweis zu

Aufgabe 283: Lichtbrechung

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Wenn $ \mbox{$y(x)$}$ den Weg eines Lichtstrahls zwischen $ \mbox{$x_0$}$ und $ \mbox{$x_1$}$ beschreibt, so bezeichne $ \mbox{$T(x_0, x_1, y)$}$ die dafür benötigte Zeit. Das Fermat-Prinzip besagt nun folgendes.

Gibt man sich Randbedingungen $ \mbox{$y(x_0) = y_0$}$ und $ \mbox{$y(x_1) = y_1$}$ vor, so minimiert der tatsächliche Weg des Lichts die Größe $ \mbox{$T(x_0, x_1, y)$}$.

Gibt man sich Randbedingungen $ \mbox{$y(x_0) = y_0$}$ und $ \mbox{$y'(x_0) = y'_0$}$ vor, so minimiert der tatsächliche Weg des Lichts ebenfalls die Größe $ \mbox{$T(x_0, x_1, y)$}$, und zwar für jedes beliebig gewählte $ \mbox{$x_1$}$.

Der Brechungsindex $ \mbox{$n = n(y) = c_0/c(y)$}$ in einem lichtdurchlässigen Medium hänge nur von der Höhe ab. Hierbei ist $ \mbox{$c_0$}$ die Vakuumslichtgeschwindigkeit, und $ \mbox{$c(y)$}$ die Lichtgeschwindigkeit in Höhe $ \mbox{$y$}$.

Gib die Euler-Lagrange-Gleichung an.

Für $ \mbox{$n(y)=1/y$}$ berechne man jeweils

  1. den weiteren Verlauf einen Lichtstrahls durch $ \mbox{$y(0)=1$}$ und $ \mbox{$y(1) = \frac{1}{2}$}$ (Skizze [!]);
  2. bei einer Lichtquelle in $ \mbox{$y(1)=1$}$, die in positiver $ \mbox{$x$}$-Richtung mit Steigung $ \mbox{$y'(1) = 1$}$ Licht aussendet, den Punkt, bei dem das Licht zum Stillstand kommt (Skizze [!]).

Es ist die Extremale von

$ \mbox{$\displaystyle \int_{x_0}^{x_1} n(y) \sqrt{1+(y')^2}\, dx $}$
unter den jeweiligen Randbedingungen zu bestimmen.
(Autoren: Künzer/Meister/Nebe)
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  automatisch erstellt am 7.  6. 2005