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Mathematik-Online-Aufgabensammlung: Lichtbrechung zu

Aufgabe 283: Lichtbrechung

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Wenn $ \mbox{$y(x)$}$ den Weg eines Lichtstrahls zwischen $ \mbox{$x_0$}$ und $ \mbox{$x_1$}$ beschreibt, so bezeichne $ \mbox{$T(x_0, x_1, y)$}$ die dafür benötigte Zeit. Das Fermat-Prinzip besagt nun folgendes.

Gibt man sich Randbedingungen $ \mbox{$y(x_0) = y_0$}$ und $ \mbox{$y(x_1) = y_1$}$ vor, so minimiert der tatsächliche Weg des Lichts die Größe $ \mbox{$T(x_0, x_1, y)$}$.

Gibt man sich Randbedingungen $ \mbox{$y(x_0) = y_0$}$ und $ \mbox{$y'(x_0) = y'_0$}$ vor, so minimiert der tatsächliche Weg des Lichts ebenfalls die Größe $ \mbox{$T(x_0, x_1, y)$}$, und zwar für jedes beliebig gewählte $ \mbox{$x_1$}$.

Der Brechungsindex $ \mbox{$n = n(y) = c_0/c(y)$}$ in einem lichtdurchlässigen Medium hänge nur von der Höhe ab. Hierbei ist $ \mbox{$c_0$}$ die Vakuumslichtgeschwindigkeit, und $ \mbox{$c(y)$}$ die Lichtgeschwindigkeit in Höhe $ \mbox{$y$}$.

Gib die Euler-Lagrange-Gleichung an.

Für $ \mbox{$n(y)=1/y$}$ berechne man jeweils

  1. den weiteren Verlauf einen Lichtstrahls durch $ \mbox{$y(0)=1$}$ und $ \mbox{$y(1) = \frac{1}{2}$}$ (Skizze [!]);
  2. bei einer Lichtquelle in $ \mbox{$y(1)=1$}$, die in positiver $ \mbox{$x$}$-Richtung mit Steigung $ \mbox{$y'(1) = 1$}$ Licht aussendet, den Punkt, bei dem das Licht zum Stillstand kommt (Skizze [!]).

Da $ \mbox{$F(x,y,y')=F(y,y') = n(y) \sqrt{1+(y')^2}$}$ nicht explizit von $ \mbox{$x$}$ abhängt, muß die Euler-Lagrange Bedingung

$ \mbox{$\displaystyle F - y'F_{y'} \; =\; \frac{n(y)}{\sqrt{1+(y')^2}} \; =\; \text{const.} \; =\; k $}$
erfüllt sein. Für $ \mbox{$n(y) = \frac{1}{y}$}$ wird die Differentialgleichung $ \mbox{$1 = ky\sqrt{1+(y')^2}$}$ gelöst mit
$ \mbox{$\displaystyle x \; =\; \frac{\pm 1}{k}\int\frac{2 k^2 y\, dy}{2\sqrt{1-k^2 y^2}} \; =\; \frac{\pm 1}{k}\sqrt{1 - k^2 y^2} + m\; , $}$
$ \mbox{$m$}$ konstant. D.h. die Extremalen sind Kreise mit Mittelpunkt auf der $ \mbox{$x$}$-Achse,
$ \mbox{$\displaystyle (kx-m)^2 + (ky)^2\; = \; 1\; . $}$
Mit den Randbedingungen aus (1) erhalten wir das Gleichungssystem
$ \mbox{$\displaystyle \begin{array}{rcl} m^2 + k^2 & = & 1 \\ m^2 + k^2 - 2mk + \frac{1}{4}k^2 & = & 1\; . \\ \end{array}$}$
Die Differenz liefert $ \mbox{$k = 8m$}$, und also $ \mbox{$m = \frac{1}{\sqrt{65}}$}$ und $ \mbox{$k = \frac{8}{\sqrt{65}}$}$.

\includegraphics[width=6cm]{s1.eps}

Die Randbedingung (1) direkt in die Differentialgleichung eingesetzt, ergibt $ \mbox{$k = \frac{1}{\sqrt{2}}$}$. Mit $ \mbox{$y(1) = 1$}$ wird schließlich $ \mbox{$m = \sqrt{2}$}$. Der Ansatz $ \mbox{$y(x_1) = 0$}$ liefert dann $ \mbox{$x_1 = 2 + \sqrt{2}$}$. Das Licht kommt also bei $ \mbox{$(2 + \sqrt{2}, 0)$}$ zum Stillstand.

\includegraphics[width=6cm]{s11.eps}

Bemerkung:

In der Atmosphäre wird Licht allerdings nicht entlang von Kreisbögen gebeugt, da ein anderer Brechungsindex vorliegt: Luft hat (auf Meereshöhe) den Brechungsindex von etwa $ \mbox{$1.04$}$. Da sich der Luftdruck etwa alle $ \mbox{$5 \text{km}$}$ halbiert, gilt für den Brechungsindex in etwa

$ \mbox{$\displaystyle n(y) \; =\; 1 + 0.04 \cdot(\frac{1}{2})^{y/5000}\; . $}$
Man sieht so bei Dämmerung die Sonne am Horizont, obwohl sie tatsächlich noch/bereits unterhalb des Horizontes ist.

(Autoren: Künzer/Meister/Nebe)
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  automatisch erstellt am 7.  6. 2005