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Mathematik-Online-Aufgabensammlung: Lösungshinweis zu

Aufgabe 394: Partielle Integration

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Bestimmen Sie die folgenden Integrale mit Hilfe partieller Integration.

$\displaystyle {{a)}}\quad \int (\ln x)^2\, dx\qquad\qquad {{b)}}\quad \int\limits_0^{\pi}{\rm {e}}^x \sin x\, dx\qquad\quad {{c)}}\quad \int \cos^4 x\, dx $

a)
$ (\ln x)^2=\ln x\cdot\ln x$
b)
Integrieren Sie zweimal partiell und lösen Sie die erhaltene Gleichung nach $ {\displaystyle{\int_0^{\pi}{\rm {e}}^x \sin x\, dx}}$ auf.
c)
Das gegebene Integral lässt sich mittels partieller Integration vereinfachen.
$\displaystyle \int \cos^3 x\, \cos x\, dx$ $\displaystyle =$ $\displaystyle [\dots] - \int 3 \cos^2 x\underbrace{(-\sin x)\sin x}_{\cos^2 x-1}\,dx$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle [\dots] - 3 \int \cos^4 x\,dx +3\int \cos^2 x\,dx$  
$\displaystyle 4\int \cos^4 x\, dx$ $\displaystyle =$ $\displaystyle [\dots] +3\int \cos^2 x\,dx$  

Eine weitere partielle Integration führt nun zur gesuchten Stammfunktion.

(Autor: Christian Apprich)
[Aufgabe]
  automatisch erstellt am 23. 11. 2007