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Mathematik-Online-Aufgabensammlung: Hinweis zu

Aufgabe 857: Ungleichungen bei Folgen

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Sei $ \mbox{$x\in\mathbb{R}_{\geq 0}$}$ fest gewählt. Sei $ \mbox{$a_n := (1 + \frac{x}{n})^n$}$, sei $ \mbox{$b_n := (1 + \frac{x}{n})^{n+1}$}$ für $ \mbox{$n\geq 1$}$.

Zeige, daß für alle $ \mbox{$n\geq 1$}$ die Ungleichungen

$ \mbox{$\displaystyle a_n \;\leq\; a_{n+1} \;\leq\; b_{n+1} $}$
gelten, und daß dazuhin
$ \mbox{$\displaystyle b_{n+1} \;\leq\; b_n $}$
falls $ \mbox{$x\in [0,1]$}$.

Zeige $ \mbox{$a_n/a_{n-1} \geq 1$}$ und $ \mbox{$b_{n-1}/b_n \geq 1$}$ für $ \mbox{$n\geq 2$}$.

(Autoren: Künzer/Martin/Nebe)
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  automatisch erstellt am 7.  6. 2005