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Mathematik-Online-Aufgabensammlung: Lösung zu

Aufgabe 863: Grenzwert von Funktionen

A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z

  1. Untersuche die reelle Funktion $ \mbox{$f(x)=e^{1/x}$}$ auf Konvergenz für $ \mbox{$x\to 0$}$ und berechne gegebenenfalls den Grenzwert.
  2. Untersuche die reelle Funktion $ \mbox{$f(x)=e^{-1/x^2}$}$ auf Konvergenz für $ \mbox{$x\to 0$}$ und berechne gegebenenfalls den Grenzwert.
  3. Untersuche die komplexe Funktion $ \mbox{$f(z)=e^{-1/z^2}$}$ auf Konvergenz für $ \mbox{$z\to 0$}$ und berechne gegebenenfalls den Grenzwert.

  1. Wir betrachten
    $ \mbox{$\displaystyle \begin{array}{rcl} \lim_{x\to 0+}(1/x)\;=\;+\infty &\Lon... ...x)\;=\;-\infty &\Longrightarrow & \lim_{x\to 0-} e^{1/x}\;=\;0\;. \end{array}$}$
    Daher divergiert $ \mbox{$f(x)$}$ für $ \mbox{$x\to 0$}$.

  2. Es gilt $ \mbox{$\lim_{x\to 0}(-1/x^2)\;=\;-\infty$}$ und $ \mbox{$\lim_{x\to-\infty} e^x=0$}$. Daraus folgt $ \mbox{$\lim_{x\to 0} e^{-1/x^2}=0$}$.

  3. Wäre die komplexe Funktion $ \mbox{$f(z)$}$ konvergent für $ \mbox{$z\to 0$}$, so wäre wegen $ \mbox{$\mathrm{i}/n\to 0$}$ auch die Folge

    $ \mbox{$\displaystyle (f(\mathrm{i}/n))_n\;=\; (e^{-1/(\mathrm{i}/n)^2})_n\;=\; (e^{n^2})_n $}$
    konvergent für $ \mbox{$n\to\infty$}$. Dies ist nicht der Fall, und somit divergiert $ \mbox{$f(z)$}$ für $ \mbox{$z\to 0$}$.

(Autoren: Künzer/Martin/Nebe)
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  automatisch erstellt am 7.  6. 2005