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Mathematik-Online-Aufgabensammlung: Lösung zu

Aufgabe 867: Gleichmäßige Stetigkeit

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Zeigen Sie, dass $ \mbox{$(0,1] \longrightarrow \mathbb{C}$}$, $ \mbox{$x\mapsto 1/x$}$ stetig, aber nicht gleichmäßig stetig ist.

Sei $ \mbox{$\varepsilon = 1$}$ gewählt, und sei $ \mbox{$\delta > 0$}$ vorgegeben. Wähle $ \mbox{$z\in (0,1/2]$}$ mit $ \mbox{$z < \delta$}$ und wähle $ \mbox{$w := 2z\in (0,1]$}$. Dann ist $ \mbox{$\vert z - w\vert < \delta$}$ und

$ \mbox{$\displaystyle \left\vert\frac{1}{z} - \frac{1}{w}\right\vert \; = \; \frac{1}{2z} \;\geq\; 1\; . $}$

Die Funktion kann mithin die Definition der gleichmäßigen Stetigkeit nicht erfüllen. Sie ist aber nichtsdestoweniger stetig auf $ \mbox{$(0,1]$}$.

(Autoren: Künzer/Martin/Nebe)
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  automatisch erstellt am 7.  6. 2005