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Mathematik-Online-Aufgabensammlung: Lösung zu

Aufgabe 872: Rechenregeln mit dem Arcussinus und Arcustangens, Potenzreihenentwicklung

A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z

  1. Zeige, daß die Sinusfunktion $ \mbox{$\sin:[-\pi/2,+\pi/2]\longrightarrow [-1,+1]$}$ bijektiv ist. Ihre Umkehrfunktion $ \mbox{$\arcsin:[-1,+1]\longrightarrow [-\pi/2,+\pi/2]$}$ heiße der Arcussinus.
  2. Zeige, daß die Tangensfunktion $ \mbox{$\tan:(-\pi/2,+\pi/2)\longrightarrow \mathbb{R}$}$ bijektiv ist. Ihre Umkehrfunktion $ \mbox{$\arctan:\mathbb{R}\longrightarrow (-\pi/2,+\pi/2)$}$ heiße der Arcustangens.
  3. Bestimme die Ableitungen von $ \mbox{$\arcsin$}$ und $ \mbox{$\arctan$}$.
  4. Bestimme die Potenzreihenentwicklungen von $ \mbox{$\arcsin$}$ und $ \mbox{$\arctan$}$ in $ \mbox{$x_0=0$}$ samt Konvergenzradien.
  5. Zeige, daß
    $ \mbox{$\displaystyle 2\arctan x \;=\; \arcsin\left(\frac{2x}{1+x^2}\right) $}$
    für alle $ \mbox{$x\in\mathbb{R}$}$.

  1. Wegen $ \mbox{$(\sin x)'=\cos x>0$}$ für $ \mbox{$x\in(-\pi/2,+\pi/2)$}$ ist $ \mbox{$\sin$}$ streng monoton wachsend auf $ \mbox{$[-\pi/2,+\pi/2]$}$. In der Tat ist $ \mbox{$\cos 0=1$}$ und $ \mbox{$\cos x\neq 0$}$ für $ \mbox{$x\in(-\pi/2,+\pi/2)$}$, so daß aus der Stetigkeit mit dem Zwischenwertsatz die Positivität folgt. Mithin ist $ \mbox{$\sin$}$ injektiv auf $ \mbox{$[-\pi/2,+\pi/2]$}$.

    Wegen $ \mbox{$\sin(-\pi/2)=-1$}$ und $ \mbox{$\sin(+\pi/2)=+1$}$ folgt aus der Stetigkeit mit dem Zwischenwertsatz die Surjektivität.

    Insgesamt ist $ \mbox{$\sin:[-\pi/2,+\pi/2]\longrightarrow [-1,+1]$}$ bijektiv.

  2. Wegen $ \mbox{$(\tan x)'=1+(\tan x)^2>0$}$ für $ \mbox{$x\in(-\pi/2,+\pi/2)$}$ ist $ \mbox{$\tan$}$ streng monoton wachsend auf $ \mbox{$(-\pi/2,+\pi/2)$}$. Mithin ist $ \mbox{$\tan$}$ injektiv auf $ \mbox{$(-\pi/2,+\pi/2)$}$.

    Wegen $ \mbox{$\lim_{x\to(-\pi/2)+}\tan x=-\infty$}$ und $ \mbox{$\lim_{x\to(+\pi/2)-}\tan x=+\infty$}$ folgt aus der Stetigkeit mit dem Zwischenwertsatz die Surjektivität.

    Insgesamt ist $ \mbox{$\tan:(-\pi/2,+\pi/2)\longrightarrow \mathbb{R}$}$ bijektiv.

  3. Es wird für $ \mbox{$y\in(-1,1)$}$ und $ \mbox{$x:=\arcsin y$}$
    $ \mbox{$\displaystyle \begin{array}{rcl} (\arcsin y)' &=& 1/(\sin x)'\\ &=& 1/\cos x\\ &=& 1/\sqrt{1-(\sin x)^2}\\ &=& 1/\sqrt{1-y^2} \; . \end{array}$}$

    Es wird für $ \mbox{$y\in\mathbb{R}$}$ und $ \mbox{$x:=\arctan y$}$

    $ \mbox{$\displaystyle \begin{array}{rcl} (\arctan y)' &=& 1/(\tan x)'\\ &=& 1/(1+(\tan x)^2)\\ &=& 1/(1+y^2) \; . \end{array}$}$

  4. Wir bestimmen Potenzreihenentwicklungen für die Ableitungen. Es wird unter Verwendung der Binomialreihe für $ \mbox{$\vert x\vert<1$}$
    $ \mbox{$\displaystyle \begin{array}{rcl} (\arcsin x)' &=& (1-x^2)^{-1/2}\vspac... ...^\infty \frac{(2n)!}{(2n+1)(n!)^2\, 4^n}\, x^{2n+1}\right)'  \; . \end{array}$}$
    Durch Vergleiche nach Einsetzen von $ \mbox{$x=0$}$ erhalten wir
    $ \mbox{$\displaystyle \arcsin x \;=\; \sum_{n=0}^\infty \frac{(2n)!}{(2n+1)(n!)^2\, 4^n}\, x^{2n+1} \; =\; x + x^3/6 + 3 x^5/40 + 5 x^7/112 + \cdots\; . $}$
    Diese Potenzreihe hat den Konvergenzradius $ \mbox{$R=1$}$. Wir bemerken noch, daß diese Identität auch in den Randpunkten $ \mbox{$\pm 1$}$ gilt.

  5. Wir vergleichen die Ableitungen und erhalten
    $ \mbox{$\displaystyle \begin{array}{rcl} \left(\arcsin\left(\frac{2x}{1+x^2}\r... ...m}\\ &=& \frac{2}{1+x^2}\vspace*{1mm}\\ &=& (2\arctan x)'\; . \end{array}$}$
    Durch Vergleiche nach Einsetzen von $ \mbox{$x=0$}$ erhalten wir
    $ \mbox{$\displaystyle 2\arctan x \;=\; \arcsin\left(\frac{2x}{1+x^2}\right) $}$
    für $ \mbox{$x\in\mathbb{R}$}$.
(Autoren: Künzer/Martin/Nebe)
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  automatisch erstellt am 7.  6. 2005