Mathematik-Online-Aufgabensammlung: Hinweis zu: Aufgabe 882: Länge und Schwerpunkt einer Kettenlinie

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	Mathematik-Online-Aufgabensammlung: Hinweis zu
	Aufgabe 882: Länge und Schwerpunkt einer Kettenlinie

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Ist $\mbox{$f:[a,b]\longrightarrow \mathbb{R}$}$ eine differenzierbare Funktion, so berechnet sich die Länge seines Graphen zu

$\mbox{$\displaystyle L(f) \; :=\; \int_a^b (1+f'(x)^2)^{1/2}\,{\mbox{d}}x\; , $}$

und die Höhe seines Schwerpunktes zu

$\mbox{$\displaystyle H(f) := L(f)^{-1}\int_a^b f(x)(1+f'(x)^2)^{1/2}\,{\mbox{d}}x\; . $}$

(1): Sei $\mbox{$f:[-1,+1]\longrightarrow \mathbb{R}$}$ mit $\mbox{$f(x) := \cosh x - \cosh 1$}$ . Berechne $\mbox{$L(f)$}$ .
(2): Berechne $\mbox{$H(f)$}$ . Vergleiche mit der Höhe des Schwerpunktes eines "dreieckigen" Polygonzuges gleicher Länge durch Punkte $\mbox{$(-1,0)$}$ , $\mbox{$(0,-a)$}$ , $\mbox{$(+1,0)$}$ für ein $\mbox{$a\in\mathbb{R}_{\geq 0}$}$ .
(3): Berechne den Umfang eines Kreises von Radius $\mbox{$1$}$ unter Verwendung der Funktion $\mbox{$g(x) = \sqrt{1 - x^2}$}$ .

Zur Integration von $\mbox{$\sinh x$}$ und $\mbox{$\cosh x$}$ zerlege man unter Zuhilfenahme der Exponentialfunktion.

Die Stammfunktion von $\mbox{$(1-x^2)^{-1/2}$}$ ist $\mbox{$\arcsin x + {\mbox{const.}}$}$

(Autoren: Künzer/Martin/Nebe)

automatisch erstellt am 7. 6. 2005