Mathematik-Online-Aufgabensammlung: Lösung zu: Aufgabe 884: Trigonometrische Integrale, Funktion und Umkehrfunktion

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	Mathematik-Online-Aufgabensammlung: Lösung zu
	Aufgabe 884: Trigonometrische Integrale, Funktion und Umkehrfunktion

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(1): Berechne $\mbox{$A_1:=\int_0^{\pi/2}\sin x\,{\mbox{d}}x$}$ .
(2): Berechne $\mbox{$B_1:=\int_0^1\arcsin x\,{\mbox{d}}x$}$ .
(3): Berechne $\mbox{$A_2:=\int_0^{\pi/4}\tan x\,{\mbox{d}}x$}$ .
(4): Berechne $\mbox{$B_2:=\int_0^1\arctan x\,{\mbox{d}}x$}$ .
(5): Bestimme $\mbox{$A_1 + B_1$}$ und $\mbox{$A_2 + B_2$}$ erneut, aber ohne Rechnung.

(1): Es wird $\mbox{$\int_0^{\pi/2}\sin x\,{\mbox{d}}x = [-\cos x]_0^{\pi/2} = 1$}$ .
(2): Mit der Substitution $\mbox{$x=\sin u$}$ und $\mbox{${\displaystyle\frac{{\mbox{d}}x}{{\mbox{d}}u}} = \cos u$}$ wird
$\mbox{$\displaystyle \begin{array}{rcl} \displaystyle\int _0^1\arcsin x\,{\mb... ... &=& \pi/2-[-\cos u]_0^{\pi/2}\vspace*{2mm}\\ &=& \pi/2 -1 \;. \end{array}$}$
(3): Es wird
$\mbox{$\displaystyle \begin{array}{rcl} \displaystyle\int _0^{\pi/4}\tan x\,{... ... &=& [-\log u]_1^{\sqrt{2}/2}\vspace*{2mm}\\ &=& (\log 2)/2 \;. \end{array}$}$
(4): Es wird mit partieller Integration und anschließender Substitution $\mbox{$u=1+x^2$}$
$\mbox{$\displaystyle \begin{array}{rcl} \displaystyle\int _0^1 1\cdot\arctan ... ...t([\log u]_1^2\right)/2\vspace*{2mm}\\ &=& \pi/4-(\log 2)/2 \;. \end{array}$}$
(5): Es ist $\mbox{$A_1 + B_1$}$ der Flächeninhalt eines Rechtecks mit Seitenlängen $\mbox{$1$}$ und $\mbox{$\pi/2$}$ , also $\mbox{$A_1 + B_1 = \pi/2$}$ .
$\includegraphics[width=12cm,height=8cm]{s1_sin.eps}$

Es ist $\mbox{$A_2 + B_2$}$ der Flächeninhalt eines Rechtecks mit Seitenlängen $\mbox{$1$}$ und $\mbox{$\pi/4$}$ , also $\mbox{$A_2 + B_2 = \pi/4$}$ .
$\includegraphics[width=6cm,height=10cm]{s1_tan.eps}$

(Autoren: Künzer/Martin/Nebe)

automatisch erstellt am 7. 6. 2005