Mathematik-Online-Aufgabensammlung: Hinweis zu: Aufgabe 886: Konvergenz von Reihen

	[Home] [Lexikon] [Aufgaben] [Tests] [Kurse] [Begleitmaterial] [Hinweise] [Mitwirkende] [Publikationen]
	Mathematik-Online-Aufgabensammlung: Hinweis zu
	Aufgabe 886: Konvergenz von Reihen

A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z

(1): Für welche reelle $\mbox{$\alpha > 0$}$ konvergiert die Reihe
$\mbox{$\displaystyle \sum_{n = 3}^\infty\frac{1}{n(\log n)^\alpha}\hspace*{1cm}{\mbox{?}} $}$
Entscheide dies mit dem Integralkriterium. Gib gegebenenfalls um $\mbox{${\displaystyle\frac{1}{3(\log 3)^\alpha}}$}$ differierende obere und untere Schranken für den Wert der Summe an.
(2): Schreibe $\mbox{$\log^{[\nu]} x := \log(\log(\cdots \log(x)\cdots))$}$ für den $\mbox{$\nu$}$ -fach iterierten Logarithmus, für ganzes $\mbox{$\nu\geq 0$}$ und reelles $\mbox{$x>\exp^{[\nu]} 0 = \exp(\exp(\cdots\exp(0)\cdots))$}$ . Speziell sei $\mbox{$\log^{[0]} x := x$}$ .
Sei $\mbox{$m\geq 1$}$ , sei $\mbox{$N>\exp^{[m]} 0$}$ . Etwas allgemeiner als in (1), für welche reelle $\mbox{$\alpha > 0$}$ konvergiert die Reihe
$\mbox{$\displaystyle \sum_{n = N}^\infty\frac{1}{(\log^{[m]} n)^\alpha\cdot \prod_{\nu = 0}^{m-1} \log^{[\nu]} n}\hspace*{1cm}{\mbox{?}} $}$
Gib gegebenenfalls um $\mbox{$\frac{1}{(\log^{[m]} N)^\alpha\cdot \prod_{\nu = 0}^{m-1} \log^{[\nu]} N}$}$ differierende obere und untere Schranken für den Wert der Summe an.

(Autoren: Künzer/Martin/Nebe)

automatisch erstellt am 7. 6. 2005