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Mathematik-Online-Aufgabensammlung: Lösung zu

Aufgabe 886: Konvergenz von Reihen

A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z

(1)
Für welche reelle $ \mbox{$\alpha > 0$}$ konvergiert die Reihe
$ \mbox{$\displaystyle \sum_{n = 3}^\infty\frac{1}{n(\log n)^\alpha}\hspace*{1cm}{\mbox{?}} $}$
Entscheide dies mit dem Integralkriterium. Gib gegebenenfalls um $ \mbox{${\displaystyle\frac{1}{3(\log 3)^\alpha}}$}$ differierende obere und untere Schranken für den Wert der Summe an.

(2)
Schreibe $ \mbox{$\log^{[\nu]} x := \log(\log(\cdots \log(x)\cdots))$}$ für den $ \mbox{$\nu$}$-fach iterierten Logarithmus, für ganzes $ \mbox{$\nu\geq 0$}$ und reelles $ \mbox{$x>\exp^{[\nu]} 0 = \exp(\exp(\cdots\exp(0)\cdots))$}$. Speziell sei $ \mbox{$\log^{[0]} x := x$}$.

Sei $ \mbox{$m\geq 1$}$, sei $ \mbox{$N>\exp^{[m]} 0$}$. Etwas allgemeiner als in (1), für welche reelle $ \mbox{$\alpha > 0$}$ konvergiert die Reihe

$ \mbox{$\displaystyle \sum_{n = N}^\infty\frac{1}{(\log^{[m]} n)^\alpha\cdot \prod_{\nu = 0}^{m-1} \log^{[\nu]} n}\hspace*{1cm}{\mbox{?}} $}$
Gib gegebenenfalls um $ \mbox{$\frac{1}{(\log^{[m]} N)^\alpha\cdot \prod_{\nu = 0}^{m-1} \log^{[\nu]} N}$}$ differierende obere und untere Schranken für den Wert der Summe an.

(1)
Die Funktion $ \mbox{$\frac{1}{x(\log x)^\alpha}$}$ ist für $ \mbox{$x>1$}$ monoton fallend, so daß wir das Integralkriterium für die Konvergenzbetrachtung anwenden dürfen.

Wir erhalten dann mit der Substitution $ \mbox{$u = \log x$}$ und $ \mbox{${\displaystyle\frac{{\mbox{d}}u}{{\mbox{d}}x}} = x^{-1}$}$

$ \mbox{$\displaystyle \begin{array}{rcl} \displaystyle\int _3^\infty\frac{{\mb... ...m_{t\to\infty} [(1-\alpha)^{-1} u^{1-\alpha}]_{\log 3}^t\; , \\ \end{array}$}$
und dies konvergiert genau für $ \mbox{$\alpha > 1$}$, und zwar gegen $ \mbox{$(\alpha-1)^{-1}(\log 3)^{1-\alpha}$}$. Als Abschätzungen für die Summe erhalten wir diesenfalls
$ \mbox{$\displaystyle (\alpha-1)^{-1}(\log 3)^{1-\alpha}\;\leq\;\sum_{n = 3}^\... ...a-1)^{-1}(\log 3)^{1-\alpha} + {\displaystyle\frac{1}{3(\log 3)^\alpha}}\; . $}$
Z.B. ergeben sich für $ \mbox{$\alpha = 1.1$}$ die Schranken
$ \mbox{$\displaystyle 9.906393 \;\approx\; 10(\log 3)^{-0.1}\;\leq\;\sum_{n = ... ...^{-0.1} + {\displaystyle\frac{1}{3(\log 3)^{1.1}}}\;\approx\; 10.206966 \; . $}$
Beachte, daß dagegen
$ \mbox{$\displaystyle \sum_{n = 3}^{10000} \frac{1}{n(\log n)^{1.1}} \; \approx\; 2.064032 \;. $}$
Die Konvergenz ist also recht langsam.

(2)
Die Funktion $ \mbox{$\frac{1}{(\log^{[m]} x)^\alpha\cdot \prod_{\nu = 0}^{m-1} \log^{[\nu]} x}$}$ ist für $ \mbox{$x>\exp^{[m]}0$}$ monoton fallend, so daß wir das Integralkriterium für die Konvergenzbetrachtung anwenden dürfen.

Wir erhalten dann mit der Substitution $ \mbox{$u = \log^{[m]} x$}$ und $ \mbox{${\displaystyle\frac{{\mbox{d}}u}{{\mbox{d}}x}} = \prod_{\nu = 0}^{m-1} (\log^{[\nu]} x)^{-1}$}$

$ \mbox{$\displaystyle \begin{array}{rcl} \displaystyle\int _N^\infty\frac{{\mb... ...o\infty} [(1-\alpha)^{-1} u^{1-\alpha}]_{\log^{[m]} N}^t\; , \\ \end{array}$}$
und dies konvergiert genau für $ \mbox{$\alpha > 1$}$, und zwar gegen $ \mbox{$(\alpha-1)^{-1}(\log^{[m]} N)^{1-\alpha}$}$. Als Abschätzungen für die Summe erhalten wir diesenfalls
$ \mbox{$\displaystyle (\alpha-1)^{-1}(\log^{[m]} N)^{1-\alpha} \;\leq\;\sum_{n... ...frac{1}{(\log^{[m]} N)^\alpha\cdot \prod_{\nu = 0}^{m-1} \log^{[\nu]} N}\; . $}$

Skizze von $ \mbox{$\log^{[3]}x$}$.

\includegraphics[width = 10cm]{s1_log3.eps}
(Autoren: Künzer/Martin/Nebe)
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  automatisch erstellt am 7.  6. 2005