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Mathematik-Online-Aufgabensammlung: Lösung zu

Aufgabe 888: Trennbare Differentialgleichungen erster Ordnung

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Finde jeweils eine Lösung $ \mbox{$y$}$ der Gleichung $ \mbox{$y'=(\cos x)(y^2-1)$}$, welche der Anfangsbedingung genügt.

  1. $ \mbox{$y(0)=0$}$.
  2. $ \mbox{$y(0)=-1$}$.

Durch Trennung der Variablen ergibt sich

$ \mbox{$\displaystyle \begin{array}{rcl} \displaystyle\int \cos x\,{\mbox{d}}x... ...2}}\log\left\vert{\displaystyle\frac{y-1}{y+1}}\right\vert + c_1 \end{array}$}$
mit einer Konstanten $ \mbox{$c_1$}$. Also gilt
$ \mbox{$\displaystyle \begin{array}{rcl} 1-{\displaystyle\frac{2}{y+1}} &=& {\displaystyle\frac{y-1}{y+1}} \vspace*{2mm}\\ &=& c\,e^{2\sin x} \end{array}$}$
mit einer Konstanten $ \mbox{$c$}$. Aufgelöst nach $ \mbox{$y$}$ erhalten wir
$ \mbox{$\displaystyle y \;=\; {\displaystyle\frac{2}{1-c\,e^{2\sin x}}}-1 \;. $}$

Weitere Lösungen der Differentialgleichung ergeben sich aus den Nullstellen der Funktion $ \mbox{$g(y)=y^2-1$}$, d.h. wir erhalten noch die konstanten Lösungen $ \mbox{$y(x)=1$}$ und $ \mbox{$y(x)=-1$}$; sie entsprechen den Werten $ \mbox{$c=0$}$ bzw. sozusagen $ \mbox{$c=\infty$}$.

Das Richtungsfeld dieser Gleichung hat folgende Form.

\includegraphics[width=10cm]{p1_dfield.eps}

  1. Setzt man die Bedingung $ \mbox{$y(0)=0$}$ in die allgemeine Lösung ein, so ergibt sich $ \mbox{$c=-1$}$ und daher
    $ \mbox{$\displaystyle y \;=\; {\displaystyle\frac{2}{1+e^{2\sin x}}}-1\;. $}$

  2. Die Bedingung $ \mbox{$y(0)=-1$}$ ist nur erfüllt für die konstante Lösung $ \mbox{$y(x)=-1$}$.
(Autoren: Künzer/Martin/Nebe)
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  automatisch erstellt am 7.  6. 2005