Mo Logo [Home] [Lexikon] [Aufgaben] [Tests] [Kurse] [Begleitmaterial] [Hinweise] [Mitwirkende] [Publikationen]
Mathematik-Online-Aufgabensammlung: Lösung zu

Aufgabe 893: Anfangswertproblem der Besselschen Differentialgleichung

A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z

Finde eine Potenzreihe um $ \mbox{$x_0 = 0$}$, die der Besselschen Differentialgleichung

$ \mbox{$\displaystyle x^2 y'' + x y' + (x^2 - m^2) y \; =\; 0 $}$
und der Anfangsbedingung $ \mbox{$y^{(m)}(0) = y^{(m)}_0\in\mathbb{R}$}$ genügt, wobei $ \mbox{$m\geq 2$}$ ganz.

Mit dem Ansatz $ \mbox{$y = \sum_{n = 0}^\infty a_n x^n$}$ erhält man die Bedingung

$ \mbox{$\displaystyle \begin{array}{rcl} 0 & = & x^2 y'' + x y' + (x^2 - m^2)... ...splaystly\sum_{n = 2}^{\infty} ((n^2-m^2) a_n + a_{n-2}) x^n \; . \end{array}$}$
Koeffizientenvergleich liefert
$ \mbox{$\displaystyle \begin{array}{rcl} a_0 &=& 0\vspace*{2mm}\\ a_1 &=& 0\vspace*{2mm}\\ (n^2-m^2)a_n &=& -a_{n-2} \end{array}$}$
für alle $ \mbox{$n\geq 2$}$. Daraus ergibt sich $ \mbox{$a_n=0$}$ für $ \mbox{$n<m$}$. Für $ \mbox{$n>m$}$ kann man die Gleichung umformen zu
$ \mbox{$\displaystyle a_n \;=\; -\frac{a_{n-2}}{n^2-m^2} \;. $}$
Dies liefert $ \mbox{$a_{m+2k+1}=0$}$ für alle $ \mbox{$k\geq 0$}$, und
$ \mbox{$\displaystyle a_{m+2k} \;=\; -\frac{a_{m+2(k-1)}}{4k(m+k)} \;. $}$
für alle $ \mbox{$k\geq 1$}$. Diese Rekursionsgleichung führt zu
$ \mbox{$\displaystyle a_{m+2k} \;=\; \frac{(-1)^k a_m m!}{4^k k! (m+k)!}   $}$
für alle $ \mbox{$k\geq 0$}$. Unter Beachtung von $ \mbox{$a_m m!=y^{(m)}_0$}$ erhalten wir also
$ \mbox{$\displaystyle \begin{array}{rcl} y &=& \displaystly\sum_{k=0}^{\infty}... ...{\infty} {\displaystyle\frac{(-1)^k}{4^k k! (m+k)!}}\, x^{2k} \;. \end{array}$}$

Für $ \mbox{$y^{(m)}_0=2^{-m}$}$ spricht man von der $ \mbox{$m$}$-ten Besselfunktion (1. Art) $ \mbox{$J_m(x)$}$.

Die Lösungen für $ \mbox{$y^{(m)}_0=1$}$ für $ \mbox{$m\in\{0,\ldots,4\}$}$ (von unten nach oben bei $ \mbox{$x=4$}$).

\includegraphics[width=10cm]{s2_bessel.eps}
(Autoren: Künzer/Martin/Nebe)
[Zurück zur Aufgabe]
  automatisch erstellt am 7.  6. 2005