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Mathematik-Online-Aufgabensammlung: Lösung zu

Aufgabe 894: Magnetischer Schwingkreis

A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z

Wir schließen an eine Spannungsquelle mit Spannung $ \mbox{$U(t)$}$ seriell eine Spule mit Induktivität $ \mbox{$L>0$}$, einen Kondensator mit Kapazität $ \mbox{$C>0$}$ und einen Widerstand mit Widerstand $ \mbox{$2\sqrt{L/C}> R >0$}$ an. Für die Stromstärke $ \mbox{$I$}$ gilt dann

$ \mbox{$\displaystyle L\ddot{I} + R\dot{I}+{\displaystyle\frac{1}{C}}\,I \;=\; \dot{U} \;. $}$
Wir legen eine Wechselspannung $ \mbox{$U(t)=U_0\sin(\omega t)$}$ mit Frequenz $ \mbox{$\omega>0$}$ an.

(1)
Bestimme die allgemeine Lösung für die Stromstärke $ \mbox{$I(t)$}$.
(2)
Sei $ \mbox{$I_\infty(t)$}$ die Lösung mit konstanter Amplitude. Bestimme die Resonanzfrequenz $ \mbox{$\omega$}$; d.h. diejenige Frequenz $ \mbox{$\omega$}$, für die diese Amplitude maximal wird. Bestimme auch diese maximale Amplitude.

Die allgemeine Lösung der homogenen Gleichung

$ \mbox{$\displaystyle L\ddot{I}+ R\dot{I}+{\displaystyle\frac{1}{C}}\,I \;=\; 0 $}$
ist wegen des charakteristischen Polynoms
$ \mbox{$\displaystyle L\lambda^2 + R\lambda + C^{-1} \; =\; 0 $}$
und seiner Nullstellen
$ \mbox{$\displaystyle \lambda_{1,2} \; =\; (2L)^{-1}(- R \pm \mathrm{i}\,\sqrt{4 L C^{-1} - R^2}) $}$
gegeben durch
$ \mbox{$\displaystyle \begin{array}{rcl} I & = & \exp\left(-\frac{Rt}{2L}\righ... ...) + I_2\exp(-\mathrm{i}\,\omega_{\mbox{\scriptsize eigen}}t))\\ \end{array}$}$
mit $ \mbox{$I_1,\, I_2\,\in\,\mathbb{R}$}$, wobei wir
$ \mbox{$\displaystyle \omega_{\mbox{\scriptsize eigen}}\; :=\; \sqrt{\frac{1}{LC} - \frac{R^2}{4L^2}} $}$
schreiben.

Wir zerlegen die Inhomogenität (also die Anregungsfunktion) der Differentialgleichung

$ \mbox{$\displaystyle \ddot{I}+ \frac{R}{L}\dot{I}+{\displaystyle\frac{1}{LC}}\,I \;=\; \frac{U_0\,\omega}{L}\,\cos(\omega t) $}$
in $ \mbox{$\frac{U_0\,\omega}{L}\,\cos(\omega t) = \frac{U_0\,\omega}{2L}(\exp(\mathrm{i}\,\omega t) + \exp(-\mathrm{i}\,\omega t))$}$, lösen für die Inhomogenität $ \mbox{$\exp(\pm\mathrm{i}\,\omega t)$}$ und setzen am Ende wieder zusammen.

Die Wronski-Determinante ergibt sich zu

$ \mbox{$\displaystyle W(t) \; =\; -2\mathrm{i}\,\omega_{\mbox{\scriptsize eigen}}\exp\left(-\frac{Rt}{L}\right)\; . $}$
Wir haben
$ \mbox{$\displaystyle \begin{array}{rcr} I_1' & = & -{\displaystyle\frac{\math... ...box{\scriptsize eigen}}t \pm \mathrm{i}\,\omega t\right) \; .\\ \end{array}$}$
aufzuleiten.

Es wird

$ \mbox{$\displaystyle \begin{array}{rcl} I_1 & = & -{\displaystyle\frac{\mathr... ...omega_{\mbox{\scriptsize eigen}}\pm \mathrm{i}\,\omega}} \; .\\ \end{array}$}$
Einsetzen der ''variierten Konstanten'' liefert die Partikulärlösung für die Inhomogenität $ \mbox{$\exp(\pm\mathrm{i}\,\omega t)$}$
$ \mbox{$\displaystyle \begin{array}{rcl} I & = & -{\displaystyle\frac{\mathr... ...)}{\pm\mathrm{i}\, R\omega/L - \omega^2 + \frac{1}{LC}}} \; .\\ \end{array}$}$
Für die Inhomogenität $ \mbox{$\frac{U_0\,\omega}{L}\,\cos(\omega t)$}$ setzt sich dies zur allgemeinen reellen Lösung
$ \mbox{$\displaystyle I \; = \; \exp\left(-\frac{Rt}{2L}\right)(I_1\sin(\omega... ...+ \left(\frac{R^2}{L^2} - \frac{2}{LC}\right)\omega^2 + \frac{1}{L^2 C^2} }} $}$
zusammen, mit Konstanten $ \mbox{$I_1$}$ und $ \mbox{$I_2$}$ aus $ \mbox{$\mathbb{R}$}$. Dies löst (1).

Zu (2). Es wird

$ \mbox{$\displaystyle \begin{array}{rcl} I_\infty & = & {\displaystyle\frac{U... ...))}{\sqrt{R^2+\left(\frac{1}{\omega C}-\omega L\right)^2 }}} \\ \end{array}$}$
mit
$ \mbox{$\displaystyle t_0 \;:=\; \frac{1}{\omega}\,\arctan\left(\frac{RC\omega}{1-LC\omega^2}\right) \;. $}$

Die Amplitude von $ \mbox{$I_\infty$}$

$ \mbox{$\displaystyle {\displaystyle\frac{U_0}{\sqrt{R^2+\left(\frac{1}{\omega C}-\omega L\right)^2 }}} $}$
wird maximal, wenn $ \mbox{$\left(\frac{1}{\omega C}-\omega L\right)^2=0$}$, d.h. wenn $ \mbox{$\omega=\omega_{\rm Resonanz}:=\frac{1}{\sqrt{LC}}$}$, und in diesem Fall ist die Amplitude $ \mbox{$\frac{U_0}{R}$}$. D.h. es fließt Strom in derselben Stärke, wie wenn man Spule und Kondensator kurzschließt.

Skizze für die Stromamplitude in Abhängigkeit von der Anregungsfrequenz $ \mbox{$\omega$}$ für $ \mbox{$U_0=1$}$, $ \mbox{$L=1$}$ und $ \mbox{$C=1$}$ in den Fällen $ \mbox{$R=2$}$, $ \mbox{$R=1.5$}$, $ \mbox{$R=1$}$, $ \mbox{$R=0.5$}$ und $ \mbox{$R=0$}$ (von unten nach oben).

\includegraphics[width=10cm]{s3_res.eps}
(Autoren: Künzer/Martin/Nebe)
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  automatisch erstellt am 7.  6. 2005