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Mathematik-Online-Aufgabensammlung: Lösung zu

Aufgabe 1122: Polarkoordinaten und komplexe Zahlenebene

A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z

Es seien die komplexen Zahlen $ x=\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}\,\mathrm{i}$, $ y=1+\sqrt{3}\,\mathrm{i}$ und $ z=6\big(\cos(\frac{5}{6}\pi)+\mathrm{i}\sin(\frac{5}{6}\pi)\big)$ gegeben.

a)
Geben Sie $ x$ und $ y$ in Polarkoordinaten an. Verwenden Sie dabei keine Näherungen für die Argumente, sondern geben Sie diese exakt an.

b)
Berechnen Sie $ x^2$, $ x^3$, $ y^2$, $ y^3$, $ x\cdot z$, $ \frac{\displaystyle y}{\displaystyle\Bar{z}}$, $ x+z$ und $ y-\Bar{z}$. Verwenden Sie zur Berechnung die Darstellung in Polarkoordinaten, wenn es Ihnen sinnvoll erscheint. In diesen Fällen ist es legitim das Ergebnis in Polarkoordinaten anzugeben.

c)
Geben Sie von den komplexen Zahlen $ e^{\mathrm{i}\frac{\pi}{2}}$, $ e^{\mathrm{i}\frac{\pi}{4}}$ und $ e^{\mathrm{i}\frac{\pi}{3}}$ jeweils Real- und Imaginärteil an und skizzieren Sie die Zahlen in der komplexen Zahlenebene.
a)
Es ist $ x=1\cdot e^{-\mathrm{i}\frac{\pi}{4}}$ und $ y=2\cdot e^{\mathrm{i}\frac{\pi}{3}}$.
b)
Mit a) berechnet man leicht:

$\displaystyle x^2=e^{-\mathrm{i}\frac{\pi}{2}}=-\mathrm{i},\quad x^3=e^{-\mathr... ...\cdot e^{\mathrm{i}\pi}=-8,\quad x\cdot z=6\cdot e^{\mathrm{i}\frac{7\pi}{12}},$    

$\displaystyle \frac{y}{z}=\frac{1}{3}e^{-\mathrm{i}\frac{\pi}{2}}=-\frac{1}{3}\... ...{6-\sqrt{2}}{2}\mathrm{i},\quad y-\bar{z}=(1+3\sqrt{3})+(\sqrt{3}+3)\mathrm{i}.$    

c)
Hier braucht man Sinus und Kosinus der entsprechenden Winkel und erhält damit:

$\displaystyle e^{\mathrm{i}\frac{\pi}{2}}=\mathrm{i},\ e^{\mathrm{i}\frac{\pi}{... ...thrm{i},\ e^{\mathrm{i}\frac{\pi}{3}}=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}\mathrm{i}.$    

In der komplexen Zahlenebene liegen alle diese Zahlen auf dem Kreis um 0 mit Radius 1 und zwar bei den Winkeln $ \frac{\pi}{2},\ \frac{\pi}{4}$ und $ \frac{\pi}{3}$.

Auf dem Kreis kann man (mit Hilfe des Satzes von Pythagoras) auch die exakten Werte von $ \cos t$ und $ \sin t$ für $ t\in\{\frac\pi2,\frac\pi3,\frac\pi4\}$ ablesen.

(Ackermann/Poppitz)
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  automatisch erstellt am 19. 12. 2005