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Mathematik-Online-Aufgabensammlung: Lösung zu

Aufgabe 1125: Parameterform und Hessesche Normalform

A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
Beschreiben Sie die durch die Punkte $ P=(2,3,2)$ , $ Q=(5,4,7)$ und $ R=(-1,3,-1)$ verlaufende Ebene $ E$ sowohl in Parameterdarstellung, als auch in Hesse-Normalform.

  1. Wir berechnen zunächst Richtungsvektoren $ u$ und $ v$ für die Ebene, indem wir je zwei Ortsvektoren voneinander abziehen:

    $\displaystyle u:= \begin{pmatrix}5\\ 4\\ 7\end{pmatrix} -\begin{pmatrix}2\\ 3\\... ...\begin{pmatrix}2\\ 3\\ 2\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}-3\\ 0\\ -3\end{pmatrix}.$    

    Damit ergibt sich eine Parameterdarstellung der Ebene zu

    $\displaystyle E: \begin{pmatrix}2\\ 3\\ 2\end{pmatrix} +s\begin{pmatrix}3\\ 1\\ 5\end{pmatrix} +t\begin{pmatrix}-3\\ 0\\ -3\end{pmatrix}.$    

  2. Wir suchen einen Vektor $ (x, y, z)$, welcher senkrecht auf beiden Richtungsvektoren steht. Dies ergibt folgendes Gleichungssystem:

    \begin{displaymath} \begin{array}{rcrcrcr} 3x&+&1y&+&5z&=&0 \\ -3x&&&-&3z&=&0 \end{array}\end{displaymath}

    Als Lösung ergibt sich beispielsweise der Vektor $ (-3, -6, 3)$, aus dem wir durch Normierung einen Normalenvektor $ \frac1{\sqrt6}(-1,-2,1)$ der Ebene erhalten (Achtung, die Lösung ist nicht eindeutig). Das Skalarprodukt mit $ (2, 3, 2)$ liefert $ d=-\sqrt{6}$, daher müssen wir das Vorzeichen des Normalenvektors noch umdrehen. Die Hesseform ist dann

    $\displaystyle \frac{x_1+2x_2-x_3}{\sqrt{6}}=\sqrt{6}.$    

(Ackermann/Poppitz)
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  automatisch erstellt am 19. 12. 2005