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Mathematik-Online-Aufgabensammlung: Lösung zu

Aufgabe 1128: Parameterform und Hessesche Normalform

A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
  1. Bestimmen Sie die Hesse-Normalform der Ebene $ E$ durch die Punkte

    $\displaystyle P=\begin{pmatrix}1,&\frac{1}{2},&2\end{pmatrix}, \quad Q=\begin{pmatrix}-1,&2,&1\end{pmatrix}, \quad R=\begin{pmatrix}3,&-1,&-6\end{pmatrix}. $

  2. Geben Sie die Ebene durch den Punkt $ S=\begin{pmatrix}-2,&4,&7\end{pmatrix}$ parallel zu E sowohl in Hesse-Normalform als auch in Parameterform an.

  1. Zur Berechnung der Hesseschen Normalform berechnen wir zunächst zwei Vektoren in der Ebene:

    $\displaystyle \overrightarrow{PQ}=\begin{pmatrix}-1\\ 2\\ 1\end{pmatrix} -\begi... ...frac{1}{2} \\ 2\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}2\\ -\frac{3}{2}\\ -8\end{pmatrix}$    

    Aus dem Kreuzprodukt $ \overrightarrow{PQ}\times\overrightarrow{PR}=-\frac92(3,4,0)^{\operatorname t}$ dieser beiden Vektoren bekommen wir (nach Normierung) den Normalenvektor $ \overrightarrow{n}^*=-(\frac{3}{5},\frac{4}{5},0)^{\operatorname t}$. Einsetzen von $ P$ liefert $ <\overrightarrow{n},P>=-1$. Für die Hessesche Normalform müssen wir also $ n=-n^*$ verwenden, es ergibt sich

    $\displaystyle E_1 =\Big{\{}\begin{pmatrix}x_1\\ x_2\\ x_3\end{pmatrix}\; \Big\vert \; \frac35\,x_1+\frac45\,x_2+0\,x_3=1\Big{\}} \,.$    

  2. Die neue Ebene in Parameterform bekommt man aus den oben ausgerechneten Vektoren, wenn man $ S$ als Aufpunkt wählt, also

    $\displaystyle E_2 : \begin{pmatrix}-2\\ 4\\ 7\end{pmatrix}+\lambda\begin{pmatri... ...c{3}{2}\\ -1 \end{pmatrix}+\mu\begin{pmatrix}2\\ -\frac{3}{2}\\ -8\end{pmatrix}$    

    Die Ebene in Hessescher Normalform bekommen wir, indem wir den Punkt $ S$ ,,einsetzen``. Damit erhalten wir:

    $\displaystyle E_2 = \Big{\{}\begin{pmatrix}x_1\\ x_2\\ x_3\end{pmatrix} \Big\vert \frac35\,x_1+\frac45\,x_2+0\,x_3=2\Big{\}} \,.$    

(Ackermann/Poppitz)
[Aufgabe]
  automatisch erstellt am 27.  5. 2009