Mo Logo [Home] [Lexikon] [Aufgaben] [Tests] [Kurse] [Begleitmaterial] [Hinweise] [Mitwirkende] [Publikationen]
Mathematik-Online-Aufgabensammlung: Lösung zu

Aufgabe 1134: Matrixdarstellungen bezüglich verschiedener Basen

A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z

Wir betrachten den Polynomraum Pol$ _2 \mathbb{R}:=\{\sum_{j=0}^{2}\alpha_j X^j\; \vert \; \alpha_j\in\mathbb{R}\}$ zusammen mit der Abbildung $ D\colon f\mapsto f'$, die einem Polynom dessen Ableitung zuordnet.

Bestimmen Sie die Matrixdarstellungen $ _{M}D_M, _BD_B, _LD_L$ von $ D$ bezüglich

  1. der Monombasis $ M\colon X^2,X^1,X^0$,
  2. der Basis $ B\colon X^2, X-1, X+1$, sowie
  3. der Basis $ L\colon\frac12\,X^2-\frac12\,X,-X^2+1, \frac12\,X^2+\frac12\,X$.

Um das Verfahren nochmals deutlich zu machen berechnen wir $ _LD_L$ Schritt für Schritt: Zunächst müssen wir die Vektoren der Basis $ L$ abbilden. Wir erhalten:

$\displaystyle D\left(\frac12X^2-\frac12X\right)$ $\displaystyle =X-\frac12$    
$\displaystyle D\left(-X^2+1\right)$ $\displaystyle =-2X$    
$\displaystyle D\left(\frac12X^2+\frac12X\right)$ $\displaystyle =X+\frac12$    

Nun müssen wir noch die Ergebnisse in Koordinaten bezüglich der Basis $ L$ darstellen. Wir müssen also folgende Gleichungssysteme lösen:

$\displaystyle X-\frac12$ $\displaystyle =\alpha_{11}\left(\frac12X^2-\frac12X\right)+\alpha_{21}\left(-X^2+1\right)+\alpha_{31}\left(\frac12X^2+\frac12X\right)$    
$\displaystyle -2X$ $\displaystyle =\alpha_{12}\left(\frac12X^2-\frac12X\right)+\alpha_{22}\left(-X^2+1\right)+\alpha_{32}\left(\frac12X^2+\frac12X\right)$    
$\displaystyle X+\frac12$ $\displaystyle =\alpha_{13}\left(\frac12X^2-\frac12X\right)+\alpha_{23}\left(-X^2+1\right)+\alpha_{33}\left(\frac12X^2+\frac12X\right)$    

Wir übersetzen dies in Matrizensprache und erhalten:

$\displaystyle \left[\begin{array}{ccc\vert\vert ccc} \frac12 & -1 & \frac12 & 0... ...& \frac12 & 1 & -2 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & -\frac12 & 0 & \frac12 \end{array}\right]$    

Achtung, dies ist ein LGS mit mehreren rechten Seiten, die wir simultan lösen. Die Lösung $ (\alpha_{jk})$ ergibt dann die gesuchte Matrix, also

$\displaystyle _LD_L=(\alpha_{jk})=\begin{pmatrix}-\frac32 & 2 & -\frac12 \\ -\frac12 & 0 & \frac12 \\ \frac12 & -2 & \frac32\end{pmatrix}$    

Die anderen Matrizen können wir mit demselben Verfahren ausrechnen, allerdings sind die Rechnungen einfacher. Daher hier nur die Ergebnisse:

$\displaystyle _MD_M=\begin{pmatrix}0 & 0 & 0 \\ 2 & 0 & 0 \\ 0& 1& 0\end{pmatri... ...trix}0 & 0 & 0 \\ 1 & -\frac12 & -\frac12 \\ 1 & \frac12 & \frac12\end{pmatrix}$    

(Ackermann/Poppitz)
[Zurück zur Aufgabe]
  automatisch erstellt am 19. 12. 2005