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Mathematik-Online-Aufgabensammlung: Lösung zu

Aufgabe 1178: Orthonormalbasis

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Im $ \mathbb{R}^3$ ist die Basis $ B\colon b_1, b_2, b_3$ mit

$ b_1=\left(\frac{1}{2},-\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{1}{2}\right)$ ,     $ b_2=\left(-\frac{\sqrt{2}}{2},0,\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$ ,     $ b_3=\left(\frac{1}{2},\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{1}{2}\right)$

gegeben und $ E$ bezeichne die Standardbasis.

Die lineare Abbildung $ \delta$ ist durch

$ {}_B\delta(e_1)=\left(\frac{1}{2},-\frac{1}{2},-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$ ,     $ {}_B\delta(e_2)=\left(-\frac{\sqrt{2}}{2},-\frac{\sqrt{2}}{2},0\right)$ ,     $ {}_B\delta(e_3)=\left(\frac{1}{2},-\frac{1}{2},\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$

definiert.

a)
Zeigen Sie, dass $ B$ eine Orthonormalbasis von $ \mathbb{R}^3$ ist.
b)
Bestimmen Sie die Matrixdarstellung $ _B \delta _B$.
c)
Zeigen Sie, dass $ \delta$ eine orthogonale Abbildung ist.
d)
Berechnen Sie $ \operatorname{det} \left( _E \delta _E \right)$.

  1. Zu zeigen, dass die Basis eine Orthonomalbasis ist gleichwertig damit, die Spaltenmatrix $ C=$  $ _B\operatorname{id}_E$ der Basisvektoren zu betrachten und zu zeigen, dass diese Matrix orthogonal ist. Wir rechnen also:

    $\displaystyle C\cdot C^T=\frac12\begin{pmatrix}1 & -\sqrt{2} & 1 \\ -\sqrt{2} &... ...\sqrt{2} & 1 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix}1 & & \\ & 1 & \\ && 1 \end{pmatrix}$    

  2. Es ist   $ _B\delta_B=$  $ _B\operatorname{id}_E$     $ _E\delta_E$     $ _E\operatorname{id}_B$ wobei   $ _E\delta_E$ durch die Aufgabenstellung gegeben ist. Wir berechnen daher:

      $\displaystyle _B\delta_B$ $\displaystyle =\frac12\begin{pmatrix}1 & -\sqrt{2} & 1 \\ -\sqrt{2} & 0 & \sqrt... ...1 & -\sqrt{2} & 1 \\ -\sqrt{2} & 0 & \sqrt{2} \\ 1 & \sqrt{2} & 1 \end{pmatrix}$    
      $\displaystyle = \frac12\begin{pmatrix}1 & 1 & \sqrt{2} \\ -\sqrt{2} & \sqrt{2} & 0 \\ 1 & 1 & -\sqrt{2}\end{pmatrix}$    

  3. Wir benutzen den Satz, dass eine orthogonale Abbildung genau dann orthogonal ist, wenn die Darstellungsmatrix bezüglich der Standardbasis, also   $ _E\delta_E$, eine orthogonale Matrix ist. Wir berechnen:

    $\displaystyle ($  $\displaystyle _E\delta_E)\cdot ($  $\displaystyle _E\delta_E)^T= \frac12\begin{pmatrix}1 & -\sqrt{2} & 1 \\ -1 & -\... ...1 & \sqrt{2} \end{pmatrix} =\begin{pmatrix}1 & & \\ & 1 & \\ && 1 \end{pmatrix}$    

  4. Durch Anwendung der Sarrusregel erhalten wir $ \operatorname{det}(\delta)=-1$.

(Ackermann/Poppitz)
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  automatisch erstellt am 13.  1. 2006