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Mathematik-Online-Aufgabensammlung: Lösung zu

Aufgabe 1212: Bestimmung von Eigenwerten und Eigenräumen einer Matrix sowie Konstruktion einer Basis

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Gegeben ist die Abbildung $ \varphi\colon\mathbb{C}^2\rightarrow\mathbb{C}^2\colon x\mapsto Ax$, wobei $ A= \left(\begin{smallmatrix} 1 & i \\ i &-1 \end{smallmatrix}\right)$.
  1. Bestimmen Sie alle Eigenwerte und die zugehörigen Eigenräume von $ A$.
  2. Wählen Sie einen Eigenwert $ \lambda$ von $ A$ und einen zugehörigen Eigenvektor $ f_1$. Konstruieren Sie eine Basis $ F\colon f_1,f_2$, indem Sie einen Vektor $ f_2$ so wählen, dass $ (A-\lambda E_2)f_2=f_1$. Bestimmen Sie die Matrixdarstellung $ _F\varphi_F$.
  1. Der einzige Eigenwert von $ \varphi$ ist 0 und der Eigenraum zum Eigenwert 0 wird vom Vektor $ (i,-1)^T$ aufgespannt.
  2. Wir wählen $ f_2=(1,0)^T$. Die Matrixdarstellung ergibt sich als

      $\displaystyle _F{\varphi}_F=\begin{pmatrix}0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$    

(Ackermann/Poppitz)
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  automatisch erstellt am 6.  2. 2006