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Mathematik-Online-Aufgabensammlung: Hinweis zu

Aufgabe 1311: Orthogonales Komplement

A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z

Sei $ n\geq 1$ , und sei $ U\subseteq\mathbb{C}^n$ ein Unterraum. Sei

$\displaystyle U^\perp \; :=\; \{ x\in\mathbb{C}^n\; \vert\; \mathrm{$\bar{y}^\mathrm{t} x = 0$\ f''ur alle $y\in U$} \}\; . $

1.
Zeige, daß $ U^\perp$ ein Unterraum von $ \mathbb{C}^n$ ist.
2.
Zeige, daß $ \mathbb{C}^n = U\oplus U^\perp$ .
3.
Sei nun $ U = \langle \begin{pmatrix}1\\ \mathrm{i}\\ 0\\ 0\\ 0\end{pmatrix},\; \begin{p... ...\end{pmatrix},\; \begin{pmatrix}\mathrm{i}\\ 0\\ 1\\ 1\\ 1\end{pmatrix} \rangle$ . Bestimme Orthonormalbasen von $ U$ und $ U^\perp$ .

1.
Prüfe auf Abgeschlossenheit bezüglich Bildung von Linearkombinationen zweier Vektoren.
2.
Zeige zunächst, daß $ U\cap U^\perp = \{0\}$ . Ergänze eine Basis von $ U$ zu einer Basis von $ \mathbb{C}^n$ und wende Gram-Schmidt an. Dem Resultat können Basen von $ U$ und von $ U^\perp$ entnommen werden. Begründe dies!
3.
Ergänze die Basis von $ U$ zu einer Basis von $ \mathbb{C}^5$ und wende Gram-Schmidt an. Die ersten drei Vektoren der resultierenden Orthonormalbasis von $ \mathbb{C}^n$ bilden eine Orthonormalbasis von $ U$ , die letzten beiden bilden eine Orthonormalbasis von $ U^\perp$ .
(Autoren: Künzer/Martin/Tentler/Wahrheit)
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  automatisch erstellt am 11.  8. 2006