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Mathematik-Online-Aufgabensammlung: Lösung zu

Aufgabe 1311: Orthogonales Komplement

A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z

Sei $ n\geq 1$ , und sei $ U\subseteq\mathbb{C}^n$ ein Unterraum. Sei

$\displaystyle U^\perp \; :=\; \{ x\in\mathbb{C}^n\; \vert\; \mathrm{$\bar{y}^\mathrm{t} x = 0$\ f''ur alle $y\in U$} \}\; . $

1.
Zeige, daß $ U^\perp$ ein Unterraum von $ \mathbb{C}^n$ ist.
2.
Zeige, daß $ \mathbb{C}^n = U\oplus U^\perp$ .
3.
Sei nun $ U = \langle \begin{pmatrix}1\\ \mathrm{i}\\ 0\\ 0\\ 0\end{pmatrix},\; \begin{p... ...\end{pmatrix},\; \begin{pmatrix}\mathrm{i}\\ 0\\ 1\\ 1\\ 1\end{pmatrix} \rangle$ . Bestimme Orthonormalbasen von $ U$ und $ U^\perp$ .

1.
Es ist zunächst $ 0\in U^\perp$ .

Seien nun $ x_1,x_2\in U^\perp$ und $ \lambda_1,\lambda_2\in\mathbb{C}$ . Dann gilt für alle $ y\in U$

$\displaystyle \bar{y}^\mathrm{t}(\lambda_1 x_1+\lambda_2 x_2) \;=\; \lambda_1\bar{y}^\mathrm{t} x_1 + \lambda_2\bar{y}^\mathrm{t} x_2 \;=\; 0\;. $

Somit ist $ \lambda_1 x_1+\lambda_2 x_2\in U^\perp$ . Dies zeigt, daß $ U^\perp$ ein Unterraum von $ \mathbb{C}^n$ ist.

2.
Wir zeigen zunächst, daß $ U\cap U^\perp = \{0\}$ . Sei dazu $ x\in U\cap U^\perp$ . Dann gilt

$\displaystyle \Vert x\Vert^2 \;=\; \bar{x}^\mathrm{t} x \;=\; 0\;, $

und somit $ x=0$ . Dies zeigt, daß $ U\cap U^\perp = \{0\}$ .

Sei nun $ (x_1,\ldots,x_m)$ eine Basis von $ U$ . Wir ergänzen diese zu einer Basis $ (x_1,\ldots,x_m,x_{m+1},\ldots,x_n)$ von $ \mathbb{C}^n$ . Wendet man das Gram-Schmidtsche Orthonormalisierungsverfahren auf dieses Tupel an, so erhält man eine Orthonormalbasis $ (x'_1,\ldots,x'_n)$ von $ \mathbb{C}^n$ derart, daß $ (x'_1,\ldots,x'_m)$ eine Orthonormalbasis von $ U$ ist. Ferner gilt $ \bar{x}'^{\mathrm{t}}_k x'_l=0$ für $ k\ne l$ .

Also gilt für jedes $ y=\lambda_1 x'_1+\cdots+\lambda_m x'_m\in U$ und jedes $ l\in\{m+1,\ldots,n\}$ , daß

$\displaystyle \bar{y}^\mathrm{t} x_l' \;=\; \bar{\lambda}_1 \bar{x}'^{\mathrm{t}}_1 x_l' +\cdots+ \bar{\lambda}_m \bar{x}'^{\mathrm{t}}_m x_l' \;=\; 0\;, $

und somit $ x_l'\in U^\perp$ . Damit ist

$\displaystyle \mathbb{C}^n \;=\; \langle x'_1,\ldots,x'_m\rangle \oplus \langle... ...+1},\ldots,x'_n\rangle \subseteq U\oplus U^\perp\;\subseteq\; \mathbb{C}^n \;. $

Daraus folgt die Behauptung.

3.
Wir ergänzen die Basis von $ U$ zu einer Basis $ \Big(\begin{pmatrix}1\\ \mathrm{i}\\ 0\\ 0\\ 0\end{pmatrix},\; \begin{pmatrix}... ...0\\ 0\\ 0\\ 0\end{pmatrix},\;\begin{pmatrix}0\\ 0\\ 1\\ 0\\ 0\end{pmatrix}\Big)$ . Wir wenden das Orthonormalisierungsverfahren von Gram-Schmidt auf diese Basis an. Dies liefert uns dann wie in der Lösung zu 2. die Orthonormalbasen von $ U$ und $ U^\perp$ .

\begin{displaymath} \begin{array}{rcl} x'_1 & = & \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatr... ...0\\ 0\\ 1\\ 0\\ 1\end{pmatrix}\; . \vspace*{3mm}\\ \end{array}\end{displaymath}

\begin{displaymath} \begin{array}{rcl} x'_4 & = & \left( \begin{pmatrix}1\\ 0\... ...gin{pmatrix}0\\ 0\\ 1\\ 0\\ -1\end{pmatrix}\; . \\ \end{array}\end{displaymath}

Damit ist $ (x'_1,x'_2,x'_3)$ eine Orthonormalbasis von $ U$ , und $ (x'_4,x'_5)$ eine Orthonormalbasis von $ U^\perp$ .

(Autoren: Künzer/Martin/Tentler/Wahrheit)
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  automatisch erstellt am 11.  8. 2006