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Mathematik-Online-Aufgabensammlung: Hinweis zu

Aufgabe 1316: Sylvestersche Matrix und Resultante


A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z

Seien $ f(X) = X^3 + aX^2 + bX + 1$ und $ g(X) = X^3 + dX^2 + eX + 1$ reelle Polynome.

1.
Zeige, daß $ f$ und $ g$ genau dann einer Gleichung (Gleichheit von Polynomen) der Form

$\displaystyle (\ast) \hspace*{3cm} u(X)f(X) + v(X)g(X) \;=\; 0
$

für gewisse reellen Polynome $ u(X) = s_2 X^2 + s_1 X^1 + s_0 X^0$ und $ v(X) = t_2 X^2 + t_1 X^1 + t_0 X^0$ , die nicht beide verschwinden sollen, genügen, wenn

\begin{displaymath}
\det\left(
\begin{array}{rrrrrr}
1 & a & b & 1 & 0 & 0 \\
...
... \\
0 & 0 & 1 & d & e & 1 \\
\end{array}\right) \;=\; 0\; .
\end{displaymath}

Diese Matrix heißt auch Sylvestersche Matrix, und ihre Determinante die Resultante der Polynome $ f(X)$ und $ g(X)$ .

2.
Berechne die Resultante von $ f(X)$ und $ g(X)$ .

3.
Zeige, daß die Resultante von $ f(X)$ und $ g(X)$ genau dann verschwindet, wenn ein Polynom $ h(X)$ von Grad $ \geq 1$ existiert, welches $ f(X)$ und $ g(X)$ teilt. Hierbei teile ein Polynom ein anderes, falls ersteres in einer Produktzerlegung letzterens auftritt.

1.
Betrachte die Multiplikation des Zeilenvektors $ ({ s_2\;\; s_1\;\; s_0\;\; t_2\; \;t_1\;\; t_0})$ mit der Sylvesterschen Matrix.
3.
Verwende $ (\ast)$ aus 1.
(Autoren: Künzer/Martin/Tentler/Wahrheit)

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  automatisch erstellt am 11.  8. 2006