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Mathematik-Online-Aufgabensammlung: Lösung zu | |
Aufgabe 1316: Sylvestersche Matrix und Resultante |
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Seien und reelle Polynome.
für gewisse reellen Polynome und , die nicht beide verschwinden sollen, genügen, wenn
Diese Matrix heißt auch Sylvestersche Matrix, und ihre Determinante die Resultante der Polynome und .
schreiben. Also ist aus 1. erfüllt, und somit verschwindet die Resultante.
Ist umgekehrt aus 1. erfüllt, so haben wir die Existenz eines gemeinsamen Teilers zu zeigen. Jeder irreduzible Faktor von ist wegen Faktor von oder von . Aus Gradgründen kann nun nicht jeder Faktor von ein Faktor von sein. In anderen Worten, es gibt wenigstens ein Faktor von , der auch in auftritt.
automatisch erstellt am 11. 8. 2006 |