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Mathematik-Online-Aufgabensammlung: Lösung zu

Aufgabe 1332: Extrema mit Nebenbedingungen

A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
Bestimmen Sie die lokalen und globalen Extrema der Funktion

$\displaystyle f(x,y,z)=x^4+y^4+y^3+z $

unter den Nebenbedingungen

\begin{displaymath} \begin{array}{rclcl} g_1(x,y,z) & = & x^2 + y^2 - \dfrac{1}... ...ce{3mm}\\ g_2(x,y,z) & = & z - y^2 - 1 & = & 0\,. \end{array}\end{displaymath}

Setze $ g := \begin{pmatrix}g_1\\ g_2\end{pmatrix} \; :\; \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^2$ . Die Funktionen $ f$ , $ g_1$ und $ g_2$ sind beliebig oft stetig differenzierbar.

Sei

$\displaystyle F(x,y,z) \; := \; f(x,y,z) - \lambda g(x,y,z) \;=\; x^4 + y^4 + ... ... \left( x^2+y^2-\frac{1}{2} \right) - \lambda_2 \left( z - y^2 - 1 \right)\; , $

wobei $ \lambda = (\lambda_1,\lambda_2)^\mathrm{t}$ .

Die Ableitung von $ F$ berechnet sich zu

$\displaystyle F'(x,y,z) = \left( 4 x^3 - 2 \lambda_1 x, \; 4 y^3 + 3 y^2 - 2 \lambda_1 y + 2\lambda_2 y, \; 1 - \lambda_2 \right). $

Aus der notwendigen Bedingung für lokale Extrema $ F'(x,y,z) = 0$ sowie aus den Nebenbedingungen erhalten wir somit folgendes Gleichungssystem.

$\displaystyle \begin{array}{rcrcl} \mathrm{(I)} & & x(2x^2 - \lambda_1) & = & 0... ...{2} & = & 0\vspace{3mm}\\ \mathrm{(V)} & & z - y^2 - 1 & = & 0 \\ \end{array}$

Gleichung (III) gibt $ \lambda_2 = 1$ .

Für den Fall, daß $ x\neq 0$ und $ y\neq 0$ , vereinfachen sich die Gleichungen (I) und (II) zu

$\displaystyle \begin{array}{rcl} 2x^2 & = & \lambda_1 \vspace{3mm}\\ 2y^2 + \frac{3}{2} y + 1 & = & \lambda_1 \; . \\ \end{array}$

Gleichsetzen der linken Seiten gibt

$\displaystyle 2x^2 \;=\; 2y^2 + \frac{3}{2} y + 1 \; . $

Mit Gleichung (IV) erhalten wir

$\displaystyle y( 4y + \frac{3}{2}) = 0 \; , $

d.h. $ y = -\frac{3}{8}$ . Mit (IV) wird $ x = \pm\frac{\sqrt{23}}{8}$ . Es folgt aus (I), daß $ \lambda_1 = \frac{23}{32}$ , und damit sind (I - V) erfüllt. Wir haben die kritischen Punkte $ (\frac{\sqrt{23}}{8},-\frac{3}{8},\frac{73}{64})^\mathrm{t}$ und $ (-\frac{\sqrt{23}}{8},-\frac{3}{8},\frac{73}{64})^\mathrm{t}$ , bei welchen $ \lambda = (\frac{23}{32},1)^\mathrm{t}$ ist.

Falls $ x=0$ , so ist wegen (IV) zunächst $ y = \pm\frac{\sqrt 2}{2}$ , und wegen (V) ist $ z = \frac{3}{2}$ . Gleichung (II) kann nun noch mit $ \lambda_1 = 2 \pm \frac{3}{4}\sqrt{2}$ erfüllt werden. Wir erhalten die kritischen Punkte $ (0,\frac{\sqrt 2}{2},\frac{3}{2})^\mathrm{t}$ , mit $ \lambda = (2 + \frac{3}{4}\sqrt{2},1)^\mathrm{t}$ , und $ (0,-\frac{\sqrt 2}{2},\frac{3}{2})^\mathrm{t}$ , mit $ \lambda = (2 - \frac{3}{4}\sqrt{2},1)^\mathrm{t}$ .

Falls $ y=0$ , so ist wegen (IV) $ x = \pm\frac{\sqrt 2}{2}$ , und wegen (V) ist $ z=1$ . Gleichung (I) kann nun noch mit $ \lambda_1 = 1$ erfüllt werden. Wir erhalten die kritischen Punkte $ (\frac{\sqrt 2}{2},0,1)^\mathrm{t}$ und $ (-\frac{\sqrt 2}{2},0,1)^\mathrm{t}$ , bei welchen $ \lambda = (1,1)^\mathrm{t}$ ist.

Es ist

$\displaystyle \mathrm{Rang } g'(x,y,z) = \mathrm{Rang}\begin{pmatrix}2x & 2y & 0\\ 0 & -2y & 1\end{pmatrix}= 2\; , $

sofern $ x$ und $ y$ nicht beide verschwinden. Dies ist auf ganz $ V(g)$ der Fall. Die gefundenen kritischen Punkte sind insbesondere allesamt regulär.

Untersuchen wir nun unsere kritischen Punkte auf lokale Extrema vermittels der relativen Hessematrix. Halten wir zunächst fest, daß sich für $ \lambda$ und $ x$ beliebig

$\displaystyle \mathrm{H}_F(x) \;=\; \begin{pmatrix}12x^2 - 2\lambda_1&0&0\\ 0&\;\; 12 y^2 + 6y - 2\lambda_1 + 2\lambda_2\;\;&0\\ 0&0&0\end{pmatrix}$

ergibt.

Im folgenden fassen wir Vorzeichen zusammen, falls sich dies anbietet.

Im kritischen Punkt $ (\pm\frac{\sqrt{23}}{8},-\frac{3}{8},\frac{73}{64})^\mathrm{t}$ ist

$\displaystyle g'\!\left(\pm\frac{\sqrt{23}}{8},-\frac{3}{8},\frac{73}{64}\right... ...atrix}\pm\frac{\sqrt{23}}{8}&-\frac{3}{4}&0\\ 0&\frac{3}{4}&1\end{pmatrix}\; , $

und wir können

$\displaystyle \mathrm{T}_g\left(\pm\frac{\sqrt{23}}{8},-\frac{3}{8},\frac{73}{64}\right) \;=\; \begin{pmatrix}12\\ \pm 4\sqrt{23}\\ 3\sqrt{23}\end{pmatrix}$

setzen. Wegen $ \lambda = (\frac{23}{32},1)^\mathrm{t}$ wird der einzige Eintrag der relativen Hessematrix $ \mathrm{H}_{f;g}(\pm\frac{\sqrt{23}}{8},-\frac{3}{8},\frac{73}{64})\in\mathbb{R}^{1\times 1}$ zu $ 414\,$ .

Da die relative Hessematrix infolgedessen positiv definit ist, liegt für beide Wahlen des Vorzeichens ein lokales Minimum unter Nebenbedingung $ g = 0$ vor.

Im kritischen Punkt $ (0,\pm\frac{\sqrt 2}{2},\frac{3}{2})^\mathrm{t}$ ist

$\displaystyle g'\!\left(0,\pm\frac{\sqrt 2}{2},\frac{3}{2}\right) \;=\; \begin{pmatrix}0&\pm\sqrt{2}&0\\ 0&\mp\sqrt{2}&1\end{pmatrix}\; , $

und wir können

$\displaystyle \mathrm{T}_g\left(0,\pm\frac{\sqrt 2}{2},\frac{3}{2}\right) \;=\; \begin{pmatrix}1\\ 0\\ 0\end{pmatrix}$

setzen. Wegen $ \lambda = (2 \pm \frac{3}{4}\sqrt{2},1)^\mathrm{t}$ wird der einzige Eintrag der relativen Hessematrix $ \mathrm{H}_{f;g}(0,\pm\frac{\sqrt 2}{2},\frac{3}{2})\in\mathbb{R}^{1\times 1}$ zu

$\displaystyle - 4 \mp \frac{3}{2}\sqrt{2} $

Da die relative Hessematrix infolgedessen bei beiden Wahlen des Vorzeichens negativ definit ist, liegt für beide Wahlen des Vorzeichens ein lokales Maximum unter Nebenbedingung $ g = 0$ vor.

Im kritischen Punkt $ (\pm\frac{\sqrt 2}{2},0,1)^\mathrm{t}$ ist

$\displaystyle g'\!\left(\pm\frac{\sqrt 2}{2},0,1\right) \;=\; \begin{pmatrix}\pm\sqrt{2}&0&0\\ 0&0&1\end{pmatrix}\; , $

und wir können

$\displaystyle \mathrm{T}_g\left(\pm\frac{\sqrt 2}{2},0,1\right) \;=\; \begin{pmatrix}0\\ 1\\ 0\end{pmatrix}$

setzen. Wegen $ \lambda = (1,1)^\mathrm{t}$ wird der einzige Eintrag der relativen Hessematrix $ \mathrm{H}_{f;g}(\pm\frac{\sqrt 2}{2},0,1)\in\mathbb{R}^{1\times 1}$ zu $ 0\,$ , und wir können hier keine Aussage treffen.

Die Menge $ V(g)$ ist wegen der Gestalt von $ g_1$ beschränkt, wegen der Stetigkeit von $ g$ abgeschlossen, und also insgesamt kompakt. Da ferner $ f$ stetig ist, nimmt $ f$ ein globales Maximum und ein globales Minimum auf $ V(g)$ an. Unbeschadet unserer nur hinreichenden Bedingung mit der relativen Hessematrix müssen beide unter den sechs regulären kritischen Punkten auftauchen, da $ g'$ auf ganz $ V(g)$ den Rang $ 2$ hat.

Durch Vergleichen der Funktionswerte bei den kritischen Punkten

\begin{displaymath} \begin{array}{rclcl} f(\pm\frac{\sqrt{23}}{8},-\frac{3}{8},\... ...\ f(\pm\frac{\sqrt 2}{2},0,1) & = & 5/4 & = & 1.25 \end{array}\end{displaymath}

erkennen wir unschwer das globale Maximum und das globale Minimum.

Da die globale Minimalstelle auch als lokale Minimalstelle, und die globale Maximalstelle auch als lokale Maximalstelle erkannt wurde, jeweils unter Nebenbedingung $ g = 0$ , ist auch kein Widerspruch eingetreten.

Abschließend bemerken wir, daß wir ohne relative Hessematrix, nur unter Betrachtung der Funktionswerte bei den kritischen Punkten, den Punkt $ (0,-\frac{\sqrt 2}{2},\frac{3}{2})$ nicht als lokale Maximalstelle unter Nebenbedingung $ g = 0$ hätten erkennen können. Diese Argumentationsnot verschärft sich noch in Fällen, in denen $ V(g)$ nicht kompakt ist, man also nicht allein durch Betrachten der Werte an den kritischen Punkten die globalen Extrema erkennen kann.

(Autoren: Künzer/Martin/Tentler/Wahrheit)
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  automatisch erstellt am 11.  8. 2006