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Mathematik-Online-Aufgabensammlung: Lösung zu

Aufgabe 1334: Implizite Funktion mit zweiter Ableitung

A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
Gegeben sei die Funktion

$\displaystyle f(x,y)=\cos(x^2)+2xy+\sin(y^2)-4x-1+y\,. $

a)
Zeigen Sie, dass $ f(x,y)=0$ im Punkt $ (0,0)$ lokal eindeutig nach $ y=g(x)$ auflösbar ist.
b)
Zeigen Sie, dass $ g(x)$ in einer Umgebung von 0 zweimal stetig differenzierbar ist und berechnen Sie $ g'(0)$ und $ g''(0)$ .

Es wird

\begin{displaymath} \begin{array}{rcl} f_x(x,y) &=& -2x\sin(x^2)+2y-4 \vspace*{2mm}\\ f_y(x,y) &=& 2x+2y\cos(y^2)+1 \;. \end{array}\end{displaymath}

Also ist $ f$ zweimal stetig differenzierbar, $ f(0,0)=0$ und $ f_y(0,0)=1\ne 0$ .

Nach dem Satz über implizite Funktionen ist die Gleichung $ f(x,y)=0$ um den Punkt $ (0,0)^\mathrm{t}$ lokal eindeutig nach $ y$ auflösbar. Es gibt also Umgebungen $ U_0,\, V_0\,\subseteq\,\mathbb{R}$ von 0 und (genau) eine stetig differenzierbare Funktion $ g:U_0\to V_0$ so, daß

Es wird

$\displaystyle g'(x) \;=\; -f_y(x,g(x))^{-1} f_x(x,g(x)) \;=\; -(2x+2y\cos(y^2)+1)^{-1} (-2x\sin(x^2)+2y-4) $

für alle $ x\in U_0$ . Da insbesondere $ f_y(x,g(x))^{-1} \ne 0$ für alle $ x\in U_0$ ist, ist $ g$ zweimal stetig differenzierbar.

Als Wert bei $ x = 0$ erhalten wir $ g'(0) = 4$ wegen $ y = 0$ dort.

Berechnen wir die zweite Ableitung. Mit der Kettenregel ergibt sich

\begin{displaymath} \begin{array}{rcl} 0 & = & (f(x,g(x)))''\vspace*{2mm}\\ & ... ..._{yy}(x,g(x))(g'(x))^2 + f_y(x,g(x))g''(y) \; . \\ \end{array}\end{displaymath}

Es sind

\begin{displaymath} \begin{array}{rcl} f_{xx}(x,y) &=& -2\sin(x^2)-4x^2\cos(x^2)... ...2mm}\\ f_{yy}(x,y) &=& 2\cos(y^2)-4y^2\sin(y^2)\;. \end{array}\end{displaymath}

Setzen wir dies in obige Gleichung für $ (x,y)^\mathrm{t} = (0,0)^\mathrm{t}$ ein, so erhalten wir

$\displaystyle 0 \;=\; 0 + 2\cdot 2\cdot 4 + 2\cdot 4^2 + 1\cdot g''(0)\; , $

und also $ g''(0) = -48$ .

Skizze der Lösungskurve von $ f(x,y)=0$ .

Skizze von $ f(x,y)=0$ näher bei $ (0,0)^\mathrm{t}$ .

\includegraphics[width = 8cm]{s1-2.eps}

(Autoren: Künzer/Martin/Tentler/Wahrheit)
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  automatisch erstellt am 11.  8. 2006