Mo Logo [Home] [Lexikon] [Aufgaben] [Tests] [Kurse] [Begleitmaterial] [Hinweise] [Mitwirkende] [Publikationen]
Mathematik-Online-Aufgabensammlung: Lösung zu

Aufgabe 1336: Implizite Funktionen

A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
a)
Zeigen Sie, dass es ein Intervall $ U\subseteq\mathbb{R}$ mit $ 0\in U$ und eindeutig bestimmte Funktionen $ y:\, U\to\mathbb{R}$ sowie $ z:\, U\to\mathbb{R}$ so gibt, dass $ y(0)=z(0)=1$ und

\begin{displaymath} \begin{array}{rcl} e^{y-z} &=& y+x\sqrt{z}\vspace*{2mm}\\ y^z &=& z^{xy} \end{array}\end{displaymath}

für alle $ x\in U$ .
b)
Bestimmen Sie $ y'(0)$ und $ z'(0)$ .

Schreibe $ \mathbb{R}_+ := \{x\in\mathbb{R} \; :\; x > 0\}$ .

  1. Sei

    $\displaystyle f:\mathbb{R}\times\mathbb{R}_+\times\mathbb{R}_+\to\mathbb{R}^2,\; f(x,y,z)\;:=\; \begin{pmatrix}e^{y-z}-y-x\sqrt{z}\\ y^z-z^{xy}\end{pmatrix}\;. $

    Es wird

    $\displaystyle \renewedcommand{arraystretch}{1.5}f'(x,y,z)\;=\; \left(\begin{arr... ...y} & zy^{z-1}-x(\log z)z^{xy} & (\log y)y^z-(xy)z^{xy-1} \end{array}\right)\;. $

    Speziell wird

    $\displaystyle f'(0,1,1)\;=\; \left(\begin{array}{rrr} -1 & 0 & -1\\ 0 & 1 & 0 \end{array}\right)\;. $

    Also ist

    $\displaystyle \det f_{(y,z)^\mathrm{t}}(0,1,1) \;=\; \det\left(\begin{array}{rr} 0&-1\\ 1&0\end{array}\right) \;=\; 1 \;\ne\; 0\;. $

    Nach dem Satz über implizite Funktionen läßt sich das Gleichungssystem $ f(x,y,z)=0$ lokal um den Punkt $ (0,1,1)^\mathrm{t}$ nach $ (y,z)^\mathrm{t}$ auflösen. Also gibt es Umgebungen $ U\subseteq\mathbb{R}$ von 0 und $ V\subseteq\mathbb{R}_+\times\mathbb{R}_+$ von $ (1,1)^\mathrm{t}$ sowie genau eine Funktion $ g:U\to V$ , $ g(x)=(y(x),z(x))^\mathrm{t}$ so, daß
  2. Für $ x\in U$ erhalten wir

    $\displaystyle g'(x) \;=\; - f_{(y,z)^\mathrm{t}}(x,y(x),z(x))^{-1} f_x(x,y(x),z(x)) \; , $

    also für $ x = 0$

    $\displaystyle g'(0) \;=\; \begin{pmatrix}y'(0) \\ z'(0)\end{pmatrix} \;=\; - \l... ...ntom{-}0\end{pmatrix} \;=\; \begin{pmatrix}\phantom{-}0 \\ -1\end{pmatrix}\; . $

(Autoren: Künzer/Martin/Tentler/Wahrheit)
[Zurück zur Aufgabe]
  automatisch erstellt am 11.  8. 2006