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Mathematik-Online-Aufgabensammlung: Lösung zu

Aufgabe 1339: Konservative Vektorfelder

A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z

Für welche Werte von $ a$ erfüllt das Vektorfeld $ f(x,y,z)=\left(\dfrac{ay}{(x-y)^2},\; \dfrac{2x}{(x-y)^2}\;+1,\; z\right)^\mathrm{t}$ die Integrabilitätsbedingungen?

Bestimme einen maximalen Definitionsbereich, auf dem $ f$ konservativ ist, und dort eine Stammfunktion.

Es wird

\begin{displaymath} \begin{array}{rcl} \dfrac{\partial f_1}{\partial y} &=& \dfr... ...rtial f_2}{\partial x} &=& \dfrac{-2(x+y)}{(x-y)^3} \end{array}\end{displaymath}

und

$\displaystyle \dfrac{\partial f_1}{\partial z} \;=\; \dfrac{\partial f_3}{\part... ...=\; \dfrac{\partial f_2}{\partial z} \;=\; \dfrac{\partial f_3}{\partial y}\;. $

Also erfüllt $ f$ genau dann die Integrabilitätsbedingungen, wenn $ a=-2$ .

Man kann eine Stammfunktion $ F$ in diesem Falle wie folgt berechnen.

$\displaystyle \dfrac{\partial F}{\partial x} \;=\; -\dfrac{2y}{(x-y)^2} \;\;\Longrightarrow\;\; F(x,y,z) \;=\; \dfrac{2y}{x-y}+c(y,z) $

für eine Funktion $ c$ , die nur von $ y$ und $ z$ abhängt. Weiter gilt

$\displaystyle \dfrac{2x}{(x-y)^2}+\dfrac{\partial c}{\partial y} \;=\; \dfrac{\... ...partial y} \;=\; \dfrac{2x}{(x-y)^2}\;+1 \;\;\Longrightarrow\;\; c(y,z)=y+d(z) $

für eine Funktion $ d$ , die nur von $ z$ abhängt. Schließlich gilt

$\displaystyle d'(z) \;=\; \dfrac{\partial F}{\partial z} \;=\; z \;\;\Longrightarrow\;\; d(z)\; \;=\; \dfrac{z^2}{2}+\mathrm{const.} $

Wir können also $ d(z)=\dfrac{z^2}{2}$ wählen und erhalten als Stammfunktion

$\displaystyle F(x,y,z) \;=\; - \dfrac{2y}{(x-y)^2}+y+\dfrac{z^2}{2}\;. $

Der maximale Definitionsbereich ist dabei $ G:=\{(x,y,z)^\mathrm{t}\in\mathbb{R}^3\; \vert\; x\ne y\}$ . Man beachte, daß das Gebiet $ G$ nicht einfach zusammenhängend ist (also auch nicht sternförmig). Trotzdem gilt $ \nabla F=f$ auf dem gesamten Gebiet $ G$ . Man hätte aber auch eine Stammfunktion erhalten, wenn man auf $ \{(x,y,z)^\mathrm{t}\in\mathbb{R}^3\; \vert\; x > y\}$ noch eine beliebige Konstante zu $ F$ addiert hätte.

(Autoren: Künzer/Martin/Tentler/Wahrheit)
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  automatisch erstellt am 11.  8. 2006