Mo Logo [Home] [Lexikon] [Aufgaben] [Tests] [Kurse] [Begleitmaterial] [Hinweise] [Mitwirkende] [Publikationen]
Mathematik-Online-Aufgabensammlung: Lösung zu

Aufgabe 1344: Volumen und Integral eines Ellipsoids

A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z

Seien $ a,\, b,\, c\, >\, 0$ . Bestimme das Volumen des Ellipsoids

$\displaystyle K := \left\{ (x, y, z)^\mathrm{t} \in \mathbb{R}^3 \;\left\vert\; \dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}+\dfrac{z^2}{c^2} \leq 1 \right. \right\}. $

Berechne ferner $ \int_K f$ für

$\displaystyle f\; :\; \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}\; , \;\;\; (x,y,z)^\mathrm{t} \mapsto \left( \dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}+\dfrac{z^2}{c^2} \right)^{1/2}. $

Wir verwenden die verallgemeinerte Kugelkoordinatentransformation

$\displaystyle g\; :\; \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3\; , \;\;\; (r, \psi, \varph... ...psi) (\cos \varphi), b r (\sin \psi) (\sin \varphi), c r \cos \psi)^\mathrm{t} $

und erhalten $ K = g(M)$ mit

$\displaystyle M \; :=\; \{ (r, \psi, \varphi)^\mathrm{t} \in \mathbb{R}^3 \; \vert\; 0 \leq r \leq 1, 0 \leq \psi \leq \pi, 0 \leq \varphi \leq 2\pi \} \; . $

Wir berechnen zunächst

\begin{displaymath} \begin{array}{rcl} \det g'(r,\psi,\varphi) & = & \det \beg... ...psi)^2\vspace{3mm}\\ & = & abc r^2 \sin \psi \, . \end{array}\end{displaymath}

Damit berechnet sich das Volumen des Ellipsoiden zu

\begin{displaymath} \begin{array}{rcl} \mathrm{vol}(K) & = & \displaystyle \int... ... & = & \displaystyle \dfrac{4}{3} \pi abc \; . \\ \end{array}\end{displaymath}

Schließlich ist

\begin{displaymath} \begin{array}{rcl} \int_K f & = & \displaystyle \int_{g(M)}... ...space{3mm}\\ & = & \displaystyle \pi abc \; . \\ \end{array}\end{displaymath}

Der Dimensionstest ist in Ordnung, da der Wert von $ f$ die Dimension 0 hatte.

(Autoren: Künzer/Martin/Tentler/Wahrheit)
[Zurück zur Aufgabe]
  automatisch erstellt am 11.  8. 2006