Mathematik-Online-Aufgabensammlung: Hinweis zu: Aufgabe 1350: Zwei Oberflächenintegrale

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	Aufgabe 1350: Zwei Oberflächenintegrale

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Gegeben sei das Vektorfeld $v:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3$ , $v(x,y,z)=(-y,x,x+y+z)^\mathrm{t}$ .

Bezeichne $\Phi$ eine Fläche, deren Träger durch

$\displaystyle \{ (x,y,z)^\mathrm{t}\in\mathbb{R}^3\; \vert\; z + x^2 + y^2 = 1\; , z\ge 0\}$

gegeben ist.

Bezeichne $\Psi$ eine Fläche, deren Träger durch

$\displaystyle \{ (x,y,z)^\mathrm{t}\in\mathbb{R}^3\; \vert\; x^2 + y^2 \le 1\; , z = 0\}$

gegeben ist.

Skizze des Trägers von $\Phi$ .

$\includegraphics[width = 8cm]{p4.eps}$

Die Parametrisierung sei dabei so gewählt, daß der zugehörige Normalenvektor jeweils stets nicht nach unten zeige.

Berechne die Oberflächenintegrale $\int_\Phi \mathrm{rot }v$ und $\int_\Psi \mathrm{rot }v$ sowohl direkt als auch mit dem Stokesschen Integralsatz.

Verwende die Parametrisierungen

$\begin{displaymath} \begin{array}{rcl} \Phi(r,\varphi) & = & \begin{pmatrix}r\co... ...pmatrix}r\cos\varphi\\ r\sin\varphi\\ 0\end{pmatrix}\end{array}\end{displaymath}$

mit jeweils $(r,\varphi)\in [0,1]\times [-\pi,\pi]$ .

(Autoren: Künzer/Martin/Tentler/Wahrheit)

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automatisch erstellt am 11. 8. 2006